Решение задачи по геометрии: Хорды и касательная

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа №2 по теме «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» Вариант 2 1. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P. BP=9, CP=15, DP=20. Найти AP. Решение: По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, \(AP \cdot CP = BP \cdot DP\). Подставим известные значения: \(AP \cdot 15 = 9 \cdot 20\) \(AP \cdot 15 = 180\) Чтобы найти AP, разделим 180 на 15: \(AP = \frac{180}{15}\) \(AP = 12\) Ответ: 12 2. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K, другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причем AB=8, BC=24. Найдите AK. Решение: По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению отрезка секущей от внешней точки до первой точки пересечения с окружностью на всю длину секущей. То есть, \(AK^2 = AB \cdot AC\). Сначала найдем длину отрезка AC. \(AC = AB + BC\) \(AC = 8 + 24\) \(AC = 32\) Теперь подставим значения в формулу: \(AK^2 = 8 \cdot 32\) \(AK^2 = 256\) Чтобы найти AK, извлечем квадратный корень из 256: \(AK = \sqrt{256}\) \(AK = 16\) Ответ: 16 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. AB = 24, AC = 21, MN = 14. Найдите AM. Решение: Поскольку прямая MN параллельна стороне AC, то треугольник BMN подобен треугольнику BAC. Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно: \[\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\] Нам известны длины сторон AB, AC и MN. Используем отношение: \[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}\] Подставим известные значения: \[\frac{BM}{24} = \frac{14}{21}\] Упростим дробь \(\frac{14}{21}\), разделив числитель и знаменатель на 7: \[\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\] Теперь уравнение выглядит так: \[\frac{BM}{24} = \frac{2}{3}\] Чтобы найти BM, умножим обе части на 24: \[BM = \frac{2}{3} \cdot 24\] \[BM = 2 \cdot 8\] \[BM = 16\] Нам нужно найти AM. Мы знаем, что \(AM = AB - BM\). \[AM = 24 - 16\] \[AM = 8\] Ответ: 8 4. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 153°. Ответ дайте в градусах. Решение: Угол AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу AB. По свойству центрального и вписанного углов, опирающихся на одну и ту же дугу, вписанный угол равен половине центрального угла. То есть, \(\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB\). Подставим известное значение угла AOB: \(\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 153^\circ\) \(\angle ACB = 76.5^\circ\) Ответ: 76.5