Решение задачи: Определение главного момента силы

Дано: \(M = 8\) Н·м \(F = 26\) Н \(\beta = \gamma = 60^\circ\) \(b = 2\) м, \(c = 2\) м, \(a = 1\) м (так как \(2a = 2\)) Найти: \(M_A\) — модуль главного момента в центре приведения \(A\). Решение: 1. Главный момент в точке \(A\) складывается из момента пары сил \(\vec{M}\) и момента силы \(\vec{F}\) относительно точки \(A\): \[ \vec{M}_A = \vec{M} + \vec{m}_A(\vec{F}) \] 2. Определим координаты точки приложения силы \(F\) (пусть это точка \(K\)) и координаты центра приведения \(A\): Точка \(K\) имеет координаты: \(x_K = 0\), \(y_K = b = 2\), \(z_K = c = 2\). Точка \(A\) имеет координаты: \(x_A = a = 1\), \(y_A = b = 2\), \(z_A = c = 2\). 3. Найдем радиус-вектор \(\vec{r} = \vec{AK}\): \[ \vec{r} = (x_K - x_A)\vec{i} + (y_K - y_A)\vec{j} + (z_K - z_A)\vec{k} \] \[ \vec{r} = (0 - 1)\vec{i} + (2 - 2)\vec{j} + (2 - 2)\vec{k} = -1\vec{i} \] 4. Определим направляющие косинусы силы \(\vec{F}\). Из условия \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1\): \[ \cos^2 \alpha + \cos^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = 1 \] \[ \cos^2 \alpha + 0.25 + 0.25 = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 0.5 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \] (По рисунку угол \(\alpha\) острый, берем положительное значение). Проекции силы \(F\): \(F_x = F \cos \alpha = 26 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 13\sqrt{2}\) Н \(F_y = F \cos \beta = 26 \cdot 0.5 = 13\) Н \(F_z = F \cos \gamma = 26 \cdot 0.5 = 13\) Н 5. Вычислим момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(A\): \[ \vec{m}_A(\vec{F}) = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 13\sqrt{2} & 13 & 13 \end{vmatrix} = 0\vec{i} - (-13)\vec{j} + (-13)\vec{k} = 13\vec{j} - 13\vec{k} \] 6. Вектор момента пары сил \(\vec{M}\) направлен вдоль оси \(z\): \[ \vec{M} = 8\vec{k} \] 7. Суммарный момент в точке \(A\): \[ \vec{M}_A = 8\vec{k} + (13\vec{j} - 13\vec{k}) = 13\vec{j} - 5\vec{k} \] 8. Модуль главного момента: \[ M_A = \sqrt{0^2 + 13^2 + (-5)^2} = \sqrt{169 + 25} = \sqrt{194} \approx 13.93 \text{ Н·м} \] Ответ: \(M_A \approx 13.93\) Н·м.