Решение уравнений с показательной функцией

1 вариант Задание 1. Решите уравнения a. \( 5^{3x-1} = 1 \) Так как \( 1 = 5^0 \), то: \( 3x - 1 = 0 \) \( 3x = 1 \) \( x = \frac{1}{3} \) Ответ: \( \frac{1}{3} \) b. \( (\frac{2}{3})^x = \frac{3}{2} \) Представим правую часть как степень с основанием \( \frac{2}{3} \): \( (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-1} \) \( x = -1 \) Ответ: \( -1 \) c. \( 2^{x+1} = 32 \) Так как \( 32 = 2^5 \), то: \( 2^{x+1} = 2^5 \) \( x + 1 = 5 \) \( x = 4 \) Ответ: \( 4 \) d. \( (\frac{1}{7})^{x^2-4x-8} = 343 \) Приведем к основанию 7: \( (7^{-1})^{x^2-4x-8} = 7^3 \) \( 7^{-x^2+4x+8} = 7^3 \) \( -x^2 + 4x + 8 = 3 \) \( -x^2 + 4x + 5 = 0 \) \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = -1 \) Ответ: \( -1; 5 \) Задание 2. Решите уравнения a. \( 5^{x+3} - 5^{x+1} = 24 \) Вынесем общий множитель за скобки: \( 5^{x+1} \cdot (5^2 - 1) = 24 \) \( 5^{x+1} \cdot (25 - 1) = 24 \) \( 5^{x+1} \cdot 24 = 24 \) \( 5^{x+1} = 1 \) \( x + 1 = 0 \) \( x = -1 \) Ответ: \( -1 \) b. \( 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x = 99 \) \( 3^x \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^x = 99 \) \( 3^x \cdot (9 + 2) = 99 \) \( 3^x \cdot 11 = 99 \) \( 3^x = 9 \) \( 3^x = 3^2 \) \( x = 2 \) Ответ: \( 2 \) c. \( 9^x - 4 \cdot 3^x - 45 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 9^x = t^2 \): \( t^2 - 4t - 45 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 9 \), \( t_2 = -5 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)) Вернемся к замене: \( 3^x = 9 \) \( x = 2 \) Ответ: \( 2 \) d. \( 2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \): \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \) \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \) \( t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \) \( t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0.5 \) (не подходит) Вернемся к замене: \( 2^x = 2 \) \( x = 1 \) Ответ: \( 1 \) Задание 3. Решите неравенство a. \( 0.2^{3x-4} > 1 \) \( 0.2^{3x-4} > 0.2^0 \) Так как основание \( 0.2 < 1 \), знак неравенства меняется: \( 3x - 4 < 0 \) \( 3x < 4 \) \( x < \frac{4}{3} \) Ответ: \( (-\infty; 1\frac{1}{3}) \) b. \( 3^{6-x} > 3^{8-3x} \) Так как основание \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 6 - x > 8 - 3x \) \( 2x > 2 \) \( x > 1 \) Ответ: \( (1; +\infty) \) Задание 4. Решите систему уравнений a. \[ \begin{cases} 2^{x+y} = 8 \\ 5^{x+2y-4} = 1 \end{cases} \] Приведем к одинаковым основаниям: \[ \begin{cases} 2^{x+y} = 2^3 \\ 5^{x+2y-4} = 5^0 \end{cases} \] Перейдем к системе линейных уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 2y - 4 = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения \( x = 3 - y \). Подставим во второе: \( (3 - y) + 2y - 4 = 0 \) \( y - 1 = 0 \) \( y = 1 \) Найдем \( x \): \( x = 3 - 1 = 2 \) Ответ: \( (2; 1) \) b. \[ \begin{cases} 7^{2x-y} = \sqrt{7} \\ 2^{y-3x} = 16 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 7^{2x-y} = 7^{0.5} \\ 2^{y-3x} = 2^4 \end{cases} \] Система уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y = 0.5 \\ -3x + y = 4 \end{cases} \] Сложим уравнения: \( (2x - 3x) + (-y + y) = 0.5 + 4 \) \( -x = 4.5 \) \( x = -4.5 \) Найдем \( y \) из первого уравнения: \( 2 \cdot (-4.5) - y = 0.5 \) \( -9 - y = 0.5 \) \( y = -9.5 \) Ответ: \( (-4.5; -9.5) \)