Решение иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений. 1) \( \sqrt{x} - x = -12 \) Перенесем все члены в одну сторону: \( x - \sqrt{x} - 12 = 0 \) Пусть \( \sqrt{x} = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда \( x = t^2 \). \( t^2 - t - 12 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 4 \) \( t_2 = -3 \) (не подходит, так как \( t \ge 0 \)) Вернемся к замене: \( \sqrt{x} = 4 \) \( x = 16 \) Ответ: 16. 2) \( x + \sqrt{x} = 2(x - 1) \) Раскроем скобки: \( x + \sqrt{x} = 2x - 2 \) \( \sqrt{x} = x - 2 \) Возведем обе части в квадрат при условии \( x - 2 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 2 \)): \( x = (x - 2)^2 \) \( x = x^2 - 4x + 4 \) \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) Корни уравнения: \( x_1 = 4 \) (подходит, \( 4 \ge 2 \)) \( x_2 = 1 \) (не подходит, \( 1 < 2 \)) Ответ: 4. 3) \( \sqrt{x - 1} = x - 3 \) Возведем в квадрат при условии \( x - 3 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 3 \)): \( x - 1 = (x - 3)^2 \) \( x - 1 = x^2 - 6x + 9 \) \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 5 \) (подходит, \( 5 \ge 3 \)) \( x_2 = 2 \) (не подходит, \( 2 < 3 \)) Ответ: 5. 4) \( \sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x \) Возведем в квадрат при условии \( 1 - x \ge 0 \) (т.е. \( x \le 1 \)): \( 6 + x - x^2 = (1 - x)^2 \) \( 6 + x - x^2 = 1 - 2x + x^2 \) Перенесем всё в правую часть: \( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \) \( x = \frac{3 \pm 7}{4} \) \( x_1 = \frac{10}{4} = 2,5 \) (не подходит, так как \( 2,5 > 1 \)) \( x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \) (подходит, так как \( -1 \le 1 \)) Проверка ОДЗ для \( x = -1 \): \( 6 + (-1) - (-1)^2 = 6 - 1 - 1 = 4 \ge 0 \) (верно). Ответ: -1.