Решение задачи №18 по теоретической механике

Задача №18 по теоретической механике. Дано: \(M = 4 \, \text{кНм}\) \(q = 2 \, \text{кН/м}\) \(a = 2 \, \text{м}\) \(\alpha = 60^\circ\) Определить: реакции в шарнире \(A\) (\(X_A, Y_A\)) и усилие в стержне 1 (\(S\)). Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку \(q\) равнодействующей силой \(Q\): \[Q = q \cdot a = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{кН}\] Точка приложения силы \(Q\) находится посередине участка \(a\), то есть на расстоянии \(a/2 = 1 \, \text{м}\) от точки \(A\). 2. Рассмотрим равновесие балки. Приложим в точке \(A\) реакции \(X_A\) и \(Y_A\), а в точке крепления стержня — силу реакции стержня \(S\), направленную вдоль него под углом \(\alpha\). 3. Составим уравнения равновесия для системы сил: Сумма моментов относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0: -Q \cdot \frac{a}{2} - M + S \cdot \sin(\alpha) \cdot 4a = 0\] Подставим значения: \[-4 \cdot 1 - 4 + S \cdot \sin(60^\circ) \cdot 4 \cdot 2 = 0\] \[-8 + S \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 0\] \[S \cdot 4\sqrt{3} = 8\] \[S = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15 \, \text{кН}\] Сумма проекций сил на ось \(Ox\): \[\sum F_x = 0: X_A - S \cdot \cos(\alpha) = 0\] \[X_A = S \cdot \cos(60^\circ) = 1.15 \cdot 0.5 = 0.575 \, \text{кН}\] Сумма проекций сил на ось \(Oy\): \[\sum F_y = 0: Y_A - Q + S \cdot \sin(\alpha) = 0\] \[Y_A = Q - S \cdot \sin(60^\circ) = 4 - 1.15 \cdot 0.866 = 4 - 1 = 3 \, \text{кН}\] Ответ: \(S \approx 1.15 \, \text{кН}\), \(X_A \approx 0.58 \, \text{кН}\), \(Y_A = 3 \, \text{кН}\).