Решение задачи №22: Определение реакций в жесткой заделке

Задача №22 Дано: \(F = 2\) кН \(M = 2\) кНм \(q = 1\) кН/м \(l = 4\) м \(h = 2\) м \(b = 2\) м \(\alpha = 60^{\circ}\) Определить: реакции в жесткой заделке \(A\) (\(X_A, Y_A, M_A\)). Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\): \[Q = q \cdot l = 1 \cdot 4 = 4 \text{ кН}\] Точка приложения силы \(Q\) находится посередине горизонтального участка, то есть на расстоянии \(l/2 = 2\) м от вертикальной стойки. 2. Разложим силу \(F\) на составляющие по осям координат: \[F_x = F \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(60^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1,73 \text{ кН}\] \[F_y = -F \cdot \cos(\alpha) = -2 \cdot \cos(60^{\circ}) = -2 \cdot 0,5 = -1 \text{ кН}\] 3. Составим уравнения равновесия для рамы. Направим ось \(X\) вправо, ось \(Y\) вверх. В заделке \(A\) возникают реакции \(X_A\), \(Y_A\) и реактивный момент \(M_A\). Сумма проекций всех сил на ось \(X\): \[\sum F_{ix} = 0 \Rightarrow X_A + F_x = 0\] \[X_A = -F_x = -1,73 \text{ кН}\] Сумма проекций всех сил на ось \(Y\): \[\sum F_{iy} = 0 \Rightarrow Y_A + F_y - Q = 0\] \[Y_A = Q - F_y = 4 - (-1) = 5 \text{ кН}\] Сумма моментов всех сил относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + M - F_x \cdot b - Q \cdot \frac{l}{2} = 0\] (Примечание: момент от \(F_y\) относительно \(A\) равен нулю, так как линия действия силы проходит через точку \(A\)). \[M_A = F_x \cdot b + Q \cdot \frac{l}{2} - M\] \[M_A = 1,73 \cdot 2 + 4 \cdot 2 - 2 = 3,46 + 8 - 2 = 9,46 \text{ кНм}\] Ответ: \(X_A = -1,73\) кН, \(Y_A = 5\) кН, \(M_A = 9,46\) кНм. (Знак минус у \(X_A\) означает, что реальное направление реакции противоположно выбранному).