Решение уравнения 2cos²x - 3sinx = 3

Решение тригонометрического уравнения: \[ 2 \cos^2 x - 3 \sin x = 3 \] 1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), чтобы привести уравнение к одной функции: \[ 2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 3 \] 2. Раскроем скобки: \[ 2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 3 \] 3. Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: \[ -2 \sin^2 x - 3 \sin x + 2 - 3 = 0 \] \[ -2 \sin^2 x - 3 \sin x - 1 = 0 \] 4. Умножим на \( -1 \) для удобства: \[ 2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0 \] 5. Сделаем замену переменной: пусть \( \sin x = t \), где \( |t| \le 1 \). \[ 2t^2 + 3t + 1 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] \[ t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5 \] \[ t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \] 7. Вернемся к обратной замене: а) \( \sin x = -1 \) \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] б) \( \sin x = -0,5 \) \[ x = (-1)^n \arcsin(-0,5) + \pi n \] \[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \] \[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). В предложенном тесте это первый вариант ответа.