Решение тригонометрического уравнения: 2cos²x - 3sinx = 3

Решение тригонометрического уравнения: \[ 2 \cos^2 x - 3 \sin x = 3 \] 1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), чтобы привести уравнение к одной функции: \[ 2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 3 \] 2. Раскроем скобки: \[ 2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 3 \] 3. Перенесем все слагаемые в правую часть (или умножим на \( -1 \)), чтобы старший коэффициент был положительным: \[ 2 \sin^2 x + 3 \sin x + 3 - 2 = 0 \] \[ 2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0 \] 4. Введем замену переменной: пусть \( \sin x = t \), при этом \( |t| \le 1 \). Получаем квадратное уравнение: \[ 2t^2 + 3t + 1 = 0 \] 5. Найдем корни через дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] \[ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \] \[ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \] 6. Выполним обратную замену: Первый случай: \[ \sin x = -1 \] Это частный случай на тригонометрическом круге: \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] Второй случай: \[ \sin x = -0,5 \] Используем общую формулу \( x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n \): \[ x = (-1)^n \arcsin(-0,5) + \pi n \] Так как \( \arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6} \), получаем: \[ x = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \] Что можно записать как: \[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: Правильным является первый вариант из списка. \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]