Решение задач по геометрии с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. Тип 4 Дано: AB — диаметр, \(\angle NBA = 32^{\circ}\). Найти: \(\angle NMB\). Решение: 1. Угол \(\angle ANB\) опирается на диаметр AB, следовательно, он прямой: \(\angle ANB = 90^{\circ}\). 2. Рассмотрим треугольник ANB. Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Найдём угол \(\angle NAB\): \[\angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}\] 3. Углы \(\angle NAB\) и \(\angle NMB\) являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу NB. По свойству вписанных углов они равны: \[\angle NMB = \angle NAB = 58^{\circ}\] Ответ: 58. Тип 5 Дано: \(\angle ABC = 56^{\circ}\), \(\angle OAB = 15^{\circ}\), O — центр окружности. Найти: \(\angle BCO\). Решение: 1. Проведём радиус OB. Треугольник AOB — равнобедренный (OA = OB как радиусы). Значит, \(\angle OBA = \angle OAB = 15^{\circ}\). 2. Найдём угол \(\angle OBC\): \[\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 56^{\circ} - 15^{\circ} = 41^{\circ}\] 3. Треугольник BOC — равнобедренный (OB = OC как радиусы). Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[\angle BCO = \angle OBC = 41^{\circ}\] Ответ: 41. Тип 6 Дано: AB = BC, \(\angle ABC = 66^{\circ}\), O — центр описанной окружности. Найти: \(\angle BOC\). Решение: 1. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Найдём углы при основании: \[\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 66^{\circ}) : 2 = 114^{\circ} : 2 = 57^{\circ}\] 2. Угол \(\angle BAC\) — вписанный, он опирается на дугу BC. Угол \(\angle BOC\) — центральный, опирающийся на ту же дугу BC. 3. По теореме о центральном угле, он в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: \[\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 57^{\circ} = 114^{\circ}\] Ответ: 114. Тип 7 Дано: AB = BC, \(\angle ABC = 123^{\circ}\), O — центр описанной окружности. Найти: \(\angle BOC\). Решение: 1. Треугольник ABC — равнобедренный. Найдём угол при основании \(\angle BAC\): \[\angle BAC = (180^{\circ} - 123^{\circ}) : 2 = 57^{\circ} : 2 = 28,5^{\circ}\] 2. Вписанный угол \(\angle BAC\) опирается на дугу BC. Центральный угол \(\angle BOC\) опирается на ту же дугу BC. 3. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: \[\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 28,5^{\circ} = 57^{\circ}\] Ответ: 57.