Решение задач по геометрии: углы в окружности

Ниже представлены решения задач со второй страницы в удобном для переписывания виде. Тип 8 Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, \(\angle ABC = 80^{\circ}\), \(\angle CAD = 34^{\circ}\). Найти: \(\angle ABD\). Решение: 1. Углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу CD. Следовательно, они равны: \[\angle CBD = \angle CAD = 34^{\circ}\] 2. Угол \(\angle ABC\) состоит из суммы углов \(\angle ABD\) и \(\angle CBD\): \[\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD\] 3. Отсюда найдём искомый угол: \[\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 80^{\circ} - 34^{\circ} = 46^{\circ}\] Ответ: 46. Тип 9 Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, \(\angle ABD = 51^{\circ}\), \(\angle CAD = 42^{\circ}\). Найти: \(\angle ABC\). Решение: 1. Вписанные углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на одну и ту же дугу CD, значит они равны: \[\angle CBD = \angle CAD = 42^{\circ}\] 2. Искомый угол \(\angle ABC\) равен сумме углов \(\angle ABD\) и \(\angle CBD\): \[\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 51^{\circ} + 42^{\circ} = 93^{\circ}\] Ответ: 93. Тип 10 Дано: \(\angle AOB = 140^{\circ}\), длина меньшей дуги AB равна 98. Найти: длину большей дуги AB. Решение: 1. Градусная мера всей окружности составляет \(360^{\circ}\). Найдём градусную меру большей дуги AB: \[360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ}\] 2. Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере. Составим пропорцию, где \(x\) — длина большей дуги: \[\frac{140^{\circ}}{98} = \frac{220^{\circ}}{x}\] 3. Выразим и вычислим \(x\): \[x = \frac{98 \cdot 220}{140} = \frac{98 \cdot 22}{14} = 7 \cdot 22 = 154\] Ответ: 154. Тип 11 Дано: Центр окружности лежит на стороне AB, \(\angle BAC = 24^{\circ}\). Найти: \(\angle ABC\). Решение: 1. Так как центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB является диаметром этой окружности. 2. Вписанный угол \(\angle ACB\) опирается на диаметр AB, следовательно, он прямой: \[\angle ACB = 90^{\circ}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^{\circ}\): \[\angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\] Ответ: 66.