Решение задачи №413: Определение функции по графику

№ 413. Задайте формулой вида \( y = a(x + m)^2 + n \) функцию, график которой изображён на рисунке 54. Решение: Общий вид функции \( y = a(x - x_0)^2 + y_0 \), где \( (x_0; y_0) \) — координаты вершины параболы. В данной задаче формула записана как \( y = a(x + m)^2 + n \), значит \( m = -x_0 \) и \( n = y_0 \). а) По графику определяем координаты вершины параболы: \( (-4; 1) \). Следовательно, \( x_0 = -4 \), \( y_0 = 1 \). Тогда \( m = -(-4) = 4 \), \( n = 1 \). Формула принимает вид: \( y = a(x + 4)^2 + 1 \). Для нахождения коэффициента \( a \) возьмём точку на графике, например \( (-3; 2) \): \[ 2 = a(-3 + 4)^2 + 1 \] \[ 2 = a(1)^2 + 1 \] \[ a = 1 \] Ответ: \( y = (x + 4)^2 + 1 \). б) По графику определяем координаты вершины параболы: \( (2; 5) \). Следовательно, \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 5 \). Тогда \( m = -2 \), \( n = 5 \). Формула принимает вид: \( y = a(x - 2)^2 + 5 \). Для нахождения \( a \) возьмём точку на графике, например \( (0; 1) \): \[ 1 = a(0 - 2)^2 + 5 \] \[ 1 = 4a + 5 \] \[ 4a = -4 \] \[ a = -1 \] Ответ: \( y = -(x - 2)^2 + 5 \). в) По графику определяем координаты вершины параболы: \( (3; 1) \). Следовательно, \( x_0 = 3 \), \( y_0 = 1 \). Тогда \( m = -3 \), \( n = 1 \). Формула принимает вид: \( y = a(x - 3)^2 + 1 \). Для нахождения \( a \) возьмём точку на графике, например \( (5; 3) \): \[ 3 = a(5 - 3)^2 + 1 \] \[ 3 = 4a + 1 \] \[ 4a = 2 \] \[ a = 0,5 \] Ответ: \( y = 0,5(x - 3)^2 + 1 \).