Решение квадратных уравнений: примеры и подробные объяснения

Решение квадратных уравнений 1) \(x^2 + 5x = 0\) Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(x + 5) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x_1 = 0\) или \(x + 5 = 0\) \(x_2 = -5\) Ответ: \(0; -5\). 2) \(x^2 - 4 = 0\) Перенесем константу в правую часть: \(x^2 = 4\) Извлечем квадратный корень: \(x = \pm \sqrt{4}\) \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\) Ответ: \(2; -2\). 3) \(3x + 2x^2 - 5 = 0\) Приведем уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\): \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\] \[\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5\] Ответ: \(1; -2,5\). 4) \(x^2 + 2 + 3x = 0\) Приведем к стандартному виду: \(x^2 + 3x + 2 = 0\) Найдем дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\] \[\sqrt{D} = 1\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Ответ: \(-1; -2\). 5) \(x^2 + 4x + 4 = 0\) Заметим, что левая часть — это полный квадрат: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) \((x + 2)^2 = 0\) \(x + 2 = 0\) \(x = -2\) Ответ: \(-2\). 6) \(3x^2 + 8x = 3\) Перенесем все члены в левую часть: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\) Найдем дискриминант: \[D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\] \[\sqrt{D} = 10\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3\] Ответ: \(\frac{1}{3}; -3\).