Решение задач: Функции. Область определения и множество значений

Функции. Область определения и множество значений. Вариант 1 Задание 1. Функция задана формулой \( f(x) = 4x^2 + 8 \). Найдите \( f(-2) \). Решение: Подставим значение \( x = -2 \) в формулу функции: \[ f(-2) = 4 \cdot (-2)^2 + 8 \] \[ f(-2) = 4 \cdot 4 + 8 \] \[ f(-2) = 16 + 8 = 24 \] Ответ: 24. Задание 2. Найдите область определения функции \( y = x^3 - 3x^2 + 7 \). Решение: Данная функция является многочленом. Многочлен определен при любых значениях переменной \( x \). Ответ: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) или \( x \in \mathbb{R} \). Задание 3. Найдите область определения функции \( y = \frac{2x - 18}{5 - x} \). Решение: Функция представляет собой дробь. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. \[ 5 - x \neq 0 \] \[ x \neq 5 \] Область определения включает все числа, кроме 5. Ответ: \( D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) \). Задание 4. Найдите область определения функции, заданной на рисунке. Решение: Область определения — это проекция графика на ось \( Ox \). По графику видно, что крайняя левая точка имеет координату \( x = -4 \) (точка закрашена), а крайняя правая точка имеет координату \( x = 5 \) (точка выколота). Ответ: \( D(y) = [-4; 5) \). Задание 5. Функция \( y = f(x) \) задана графиком на отрезке \([-3,7; 4]\). Укажите множество ее значений. Решение: Множество значений — это проекция графика на ось \( Oy \). По графику находим самую нижнюю точку (минимум) и самую верхнюю точку (максимум). Минимальное значение \( y = -3 \). Максимальное значение \( y = 5 \). Ответ: \( E(y) = [-3; 5] \). Задание 6. Функция \( p(x) \) задана формулой \( p(x) = 3x + \sqrt{2} \), а \( V(x) = |p(x)| \). Вычислите значение функции \( p(-1001) + V(-1001) \). Решение: Заметим, что \( V(x) = |p(x)| \). Тогда искомое выражение имеет вид: \[ p(-1001) + |p(-1001)| \] Вычислим \( p(-1001) \): \[ p(-1001) = 3 \cdot (-1001) + \sqrt{2} = -3003 + \sqrt{2} \] Так как \( \sqrt{2} \approx 1,41 \), то число \( -3003 + \sqrt{2} \) является отрицательным. По определению модуля, если \( a < 0 \), то \( |a| = -a \). Следовательно: \[ |p(-1001)| = -(-3003 + \sqrt{2}) = 3003 - \sqrt{2} \] Теперь найдем сумму: \[ p(-1001) + V(-1001) = (-3003 + \sqrt{2}) + (3003 - \sqrt{2}) = 0 \] Ответ: 0.