Решение дифференциального уравнения y ln y + xy' = 0, y(1) = π/2

Решение Варианта 18 (задание а) Условие: Решить дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y \ln y + x y' = 0 \] при начальном условии \( y(1) = \pi/2 \). Примечание: В условии задачи допущена опечатка в начальном условии (значение \(\pi/2\) обычно относится к тригонометрическим функциям, а здесь логарифм). Однако решим уравнение в общем виде и подставим данные значения. 1. Разделим переменные. Запишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ x \frac{dy}{dx} = -y \ln y \] 2. Перенесем все слагаемые с \( y \) в левую часть, а с \( x \) — в правую: \[ \frac{dy}{y \ln y} = -\frac{dx}{x} \] 3. Интегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y \ln y} = -\int \frac{dx}{x} \] 4. Для левого интеграла используем замену \( u = \ln y \), тогда \( du = \frac{1}{y} dy \): \[ \int \frac{du}{u} = -\ln |x| + \ln |C| \] \[ \ln |\ln y| = -\ln |x| + \ln |C| \] 5. Используя свойства логарифмов \( \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \): \[ \ln |\ln y| = \ln \left| \frac{C}{x} \right| \] \[ \ln y = \frac{C}{x} \] 6. Выражаем \( y \): \[ y = e^{\frac{C}{x}} \] 7. Найдем константу \( C \), используя начальное условие \( y(1) = \pi/2 \): \[ \pi/2 = e^{\frac{C}{1}} \] \[ C = \ln(\pi/2) \] 8. Подставим \( C \) в общее решение: \[ y = e^{\frac{\ln(\pi/2)}{x}} \] Или, используя свойства степеней: \[ y = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\frac{1}{x}} \] Ответ: \( y = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\frac{1}{x}} \) Решение Варианта 18 (задание б) Условие: Решить линейное уравнение: \[ y' + \frac{1 - 2x}{x^2} y = 1 \] при условии \( y(1) = 1 \). 1. Это линейное уравнение вида \( y' + P(x)y = Q(x) \). Найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} \): \[ \int \frac{1 - 2x}{x^2} dx = \int (x^{-2} - \frac{2}{x}) dx = -\frac{1}{x} - 2 \ln x \] \[ \mu(x) = e^{-\frac{1}{x} - 2 \ln x} = e^{-\frac{1}{x}} \cdot e^{\ln x^{-2}} = \frac{e^{-1/x}}{x^2} \] 2. Умножим обе части уравнения на \( \mu(x) \): \[ \frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{e^{-1/x}}{x^2} \right) = \frac{e^{-1/x}}{x^2} \] 3. Интегрируем: \[ y \cdot \frac{e^{-1/x}}{x^2} = \int \frac{e^{-1/x}}{x^2} dx \] Для интеграла справа сделаем замену \( t = -1/x \), тогда \( dt = \frac{1}{x^2} dx \): \[ \int e^t dt = e^t + C = e^{-1/x} + C \] 4. Получаем: \[ y \cdot \frac{e^{-1/x}}{x^2} = e^{-1/x} + C \] \[ y = x^2 + C x^2 e^{1/x} \] 5. Найдем \( C \) из \( y(1) = 1 \): \[ 1 = 1^2 + C \cdot 1^2 \cdot e^1 \] \[ 1 = 1 + Ce \Rightarrow C = 0 \] Ответ: \( y = x^2 \)