Упрощение тригонометрических выражений

№1. Упростить: а) \(\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}\) Решение: Воспользуемся формулой косинуса двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\). Тогда \(\cos 36^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ\). Подставим это в выражение: \[ \frac{1 - 2\sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{1 - \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} \] По основному тригонометрическому тождеству \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\): \[ \frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \cos 18^\circ \] Ответ: \(\cos 18^\circ\) б) \(\sin 2t \cdot (\text{tg } t - 1)\) Решение: Распишем синус двойного угла и тангенс: \[ 2\sin t \cos t \cdot \left( \frac{\sin t}{\cos t} - 1 \right) = 2\sin t \cos t \cdot \frac{\sin t - \cos t}{\cos t} \] Сократим на \(\cos t\): \[ 2\sin t (\sin t - \cos t) = 2\sin^2 t - 2\sin t \cos t \] Используя формулы понижения степени и двойного угла: \[ (1 - \cos 2t) - \sin 2t \] Ответ: \(1 - \cos 2t - \sin 2t\) №2. Вычислить: а) \(2\sin 15^\circ \cos 15^\circ\) Решение: Используем формулу синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\): \[ 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0,5 \] Ответ: \(0,5\) б) \(\frac{\text{tg } \frac{\pi}{8}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\pi}{8}}\) Решение: Вспомним формулу тангенса двойного угла: \(\text{tg } 2\alpha = \frac{2\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}\). Наше выражение отличается от формулы отсутствием двойки в числителе. Домножим и разделим на 2: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2\text{tg } \frac{\pi}{8}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \text{tg} \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} \text{tg } \frac{\pi}{4} \] Так как \(\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1\): \[ \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5 \] Ответ: \(0,5\)