Решение задачи: Гармонические колебания

Задача №1 Дано: \( A = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м} \) \( \omega = 2 \text{ с}^{-1} \) \( v = 8 \text{ см/с} = 0,08 \text{ м/с} \) \( m = 9 \text{ г} = 0,009 \text{ кг} \) \( x = A \cos(\omega t) \) Найти: \( a \), \( F(t) \) Решение: 1. Скорость точки — это первая производная координаты по времени: \[ v(t) = x' = -A \omega \sin(\omega t) \] Амплитуда скорости: \( v_m = A \omega = 0,05 \cdot 2 = 0,1 \text{ м/с} \). 2. Ускорение точки — это вторая производная координаты по времени: \[ a(t) = v' = -A \omega^2 \cos(\omega t) = -\omega^2 x \] 3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \): \[ \left( \frac{v}{A \omega} \right)^2 + \left( \frac{x}{A} \right)^2 = 1 \] Отсюда выразим координату \( x \) в момент, когда скорость равна \( v \): \[ x^2 = A^2 \left( 1 - \frac{v^2}{(A \omega)^2} \right) = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2} \] \[ x = \sqrt{0,05^2 - \frac{0,08^2}{2^2}} = \sqrt{0,0025 - 0,0016} = \sqrt{0,0009} = 0,03 \text{ м} \] 4. Найдем ускорение: \[ a = -\omega^2 x = -2^2 \cdot 0,03 = -0,12 \text{ м/с}^2 \] Модуль ускорения равен \( 0,12 \text{ м/с}^2 \). 5. Уравнение силы по второму закону Ньютона: \[ F(t) = m \cdot a(t) = -m A \omega^2 \cos(\omega t) \] Подставим значения: \[ F(t) = -0,009 \cdot 0,05 \cdot 2^2 \cos(2t) = -0,0018 \cos(2t) \text{ (Н)} \] Ответ: \( a = -0,12 \text{ м/с}^2 \); \( F(t) = -0,0018 \cos(2t) \text{ Н} \). Задача №2 Дано: \( C = 100 \text{ пФ} = 100 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 10^{-10} \text{ Ф} \) \( q(t) = 2 \cdot 10^{-9} \cos(10^6 \pi t) \text{ Кл} \) Найти: \( i(t) \), \( u(t) \), \( q_m \), \( U_m \), \( I_m \), \( L \), \( \lambda \) Решение: 1. Из уравнения \( q(t) = q_m \cos(\omega t) \) имеем: Амплитуда заряда: \( q_m = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \). Циклическая частота: \( \omega = 10^6 \pi \text{ рад/с} \). 2. Сила тока — это производная заряда по времени: \[ i(t) = q' = -q_m \omega \sin(\omega t) \] \[ I_m = q_m \omega = 2 \cdot 10^{-9} \cdot 10^6 \pi = 2\pi \cdot 10^{-3} \text{ А} \approx 6,28 \text{ мА} \] Уравнение тока: \( i(t) = -2\pi \cdot 10^{-3} \sin(10^6 \pi t) \text{ А} \). 3. Разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе: \[ u(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{2 \cdot 10^{-9}}{10^{-10}} \cos(10^6 \pi t) = 20 \cos(10^6 \pi t) \text{ В} \] Амплитуда напряжения: \( U_m = 20 \text{ В} \). 4. Индуктивность катушки найдем из формулы \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \): \[ \omega^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow L = \frac{1}{\omega^2 C} \] \[ L = \frac{1}{(10^6 \pi)^2 \cdot 10^{-10}} = \frac{1}{10^{12} \pi^2 \cdot 10^{-10}} = \frac{1}{100 \pi^2} \approx \frac{1}{100 \cdot 9,87} \approx 0,001 \text{ Гн} = 1 \text{ мГн} \] 5. Длина волны: \[ \lambda = c \cdot T = \frac{c \cdot 2\pi}{\omega} \] где \( c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \) — скорость света. \[ \lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot 2\pi}{10^6 \pi} = 300 \cdot 2 = 600 \text{ м} \] Ответ: \( q_m = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \), \( U_m = 20 \text{ В} \), \( I_m \approx 6,28 \text{ мА} \); \( i(t) = -2\pi \cdot 10^{-3} \sin(10^6 \pi t) \text{ А} \); \( u(t) = 20 \cos(10^6 \pi t) \text{ В} \); \( L \approx 1 \text{ мГн} \); \( \lambda = 600 \text{ м} \).