Решение ОДУ-1 Вариант 12

Тема: ОДУ-1. Вариант № 12 Задание 1. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях \(x = x_0, y = y_0\) называется: Ответ: 1) задачей Коши. Задание 2. Определите вид дифференциального уравнения: \[ \frac{dy}{y} = 4 \cos x \, dx \] Ответ: 3) ДУ с разделенными переменными. (Так как переменная \(y\) находится только в левой части с дифференциалом \(dy\), а переменная \(x\) — только в правой части с дифференциалом \(dx\)). Задание 3. Найдите общее решение ОДУ 1-го порядка: \[ y' = \frac{y}{x} - x^4 \] Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка вида \(y' + P(x)y = Q(x)\). Перепишем его: \[ y' - \frac{1}{x}y = -x^4 \] Будем искать решение методом Бернулли в виде \(y = u \cdot v\), тогда \(y' = u'v + uv'\). Подставим в уравнение: \[ u'v + uv' - \frac{uv}{x} = -x^4 \] \[ u'v + u \left( v' - \frac{v}{x} \right) = -x^4 \] 1) Найдем \(v\), приравняв скобку к нулю: \[ v' - \frac{v}{x} = 0 \] \[ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \] \[ \frac{dv}{v} = \frac{dx}{x} \] Интегрируя, получаем: \[ \ln|v| = \ln|x| \Rightarrow v = x \] 2) Подставим \(v = x\) в оставшееся уравнение для \(u\): \[ u' \cdot x = -x^4 \] \[ \frac{du}{dx} = -x^3 \] \[ du = -x^3 \, dx \] Интегрируем: \[ u = \int -x^3 \, dx = -\frac{x^4}{4} + C \] 3) Находим общее решение \(y = u \cdot v\): \[ y = \left( -\frac{x^4}{4} + C \right) \cdot x \] \[ y = Cx - \frac{x^5}{4} \] Ответ: \(y = Cx - \frac{x^5}{4}\)