Вывод волнового уравнения для электрического поля: решение

Ниже представлен подробный вывод дифференциального уравнения для напряженности электрического поля, оформленный для переписывания в тетрадь. Вывод волнового уравнения для электрического поля 1. Используем известное тождество векторной алгебры (правило «бац минус цаб»): \[ [\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]] = \vec{b}(\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}, \vec{b}) \] 2. Применим это тождество к оператору набла \( \nabla \) и вектору напряженности электрического поля \( \vec{E} \): \[ [\nabla, [\nabla, \vec{E}]] = \nabla(\nabla, \vec{E}) - (\nabla, \nabla)\vec{E} \] 3. Согласно уравнениям Максвелла для однородной нейтральной среды (в отсутствие свободных зарядов): - Уравнение (1) (закон Гаусса): \( (\nabla, \vec{E}) = \text{div} \vec{E} = 0 \) - Уравнение (4) (закон электромагнитной индукции): \( [\nabla, \vec{E}] = \text{rot} \vec{E} = -\mu\mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \) 4. Подставим эти значения в левую и правую части нашего тождества. Левая часть примет вид: \[ [\nabla, [\nabla, \vec{E}]] = [\nabla, -\mu\mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}] = -\mu\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} [\nabla, \vec{H}] \] 5. Из уравнений Максвелла для тока смещения (в отсутствие токов проводимости): \[ [\nabla, \vec{H}] = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \] 6. Подставим это выражение в результат шага 4: \[ -\mu\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) = -\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \] 7. Теперь рассмотрим правую часть тождества из шага 2. Так как \( (\nabla, \vec{E}) = 0 \), а оператор Лапласа \( \nabla^2 = (\nabla, \nabla) \), получаем: \[ \nabla(0) - \nabla^2 \vec{E} = -\nabla^2 \vec{E} \] 8. Приравниваем полученные выражения: \[ -\nabla^2 \vec{E} = -\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \] 9. Умножая на \(-1\), окончательно получаем дифференциальное уравнение (6): \[ \nabla^2 \vec{E} = \varepsilon\mu\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \] Это уравнение описывает распространение электромагнитной волны в среде. Оно подтверждает фундаментальный вывод отечественной и мировой физики о том, что изменения электрического и магнитного полей неразрывно связаны и передаются в пространстве с конечной скоростью.