Решение задач на смежные и вертикальные углы

Ниже представлено решение задач из вашего списка, оформленное для удобного переписывания в школьную тетрадь. Смежные и вертикальные углы Задача 1. Дано: \( \alpha \) и \( \beta \) — смежные углы, \( \alpha = 11\beta \). Найти: \( \alpha, \beta \). Решение: Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \). \[ \alpha + \beta = 180^\circ \] Подставим условие \( \alpha = 11\beta \): \[ 11\beta + \beta = 180^\circ \] \[ 12\beta = 180^\circ \] \[ \beta = 180^\circ : 12 = 15^\circ \] Тогда \( \alpha = 11 \cdot 15^\circ = 165^\circ \). Ответ: \( 15^\circ \) и \( 165^\circ \). Задача 2. Дано: две прямые пересекаются, сумма двух углов равна \( 296^\circ \). Найти: все неразвернутые углы. Решение: При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Сумма смежных углов всегда \( 180^\circ \), значит, данные в условии углы — вертикальные (так как их сумма больше \( 180^\circ \)). Вертикальные углы равны, поэтому каждый из них равен: \[ 296^\circ : 2 = 148^\circ \] Смежный с ними угол равен: \[ 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \] Ответ: \( 148^\circ, 32^\circ, 148^\circ, 32^\circ \). Первый признак равенства треугольников Задача 1. Дано: \( AB = AC \), \( \angle 1 = \angle 2 \), \( \angle ACD = 38^\circ \), \( \angle ADC = 102^\circ \). Доказать: \( \triangle ABD = \triangle ACD \). Найти: \( \angle ABD, \angle ADB \). Доказательство: Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \): 1) \( AB = AC \) (по условию); 2) \( \angle 1 = \angle 2 \) (по условию); 3) Сторона \( AD \) — общая. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle ACD \) по двум сторонам и углу между ними (I признак). Так как треугольники равны, их соответствующие элементы равны: \[ \angle ABD = \angle ACD = 38^\circ \] \[ \angle ADB = \angle ADC = 102^\circ \] Ответ: \( 38^\circ, 102^\circ \). Задача 2. Дано: \( MN = NK \), \( EN = NF \), \( MK = 10 \) см, \( KF = 8 \) см. Доказать: \( \triangle MNE = \triangle KNF \). Найти: \( ME, MN \). Доказательство: Рассмотрим \( \triangle MNE \) и \( \triangle KNF \): 1) \( MN = NK \) (по условию); 2) \( EN = NF \) (по условию); 3) \( \angle MNE = \angle KNF \) (как вертикальные). Следовательно, \( \triangle MNE = \triangle KNF \) по I признаку. Из равенства треугольников следует: \[ ME = KF = 8 \text{ см} \] Так как \( N \) — середина \( MK \), то: \[ MN = MK : 2 = 10 : 2 = 5 \text{ см} \] Ответ: \( ME = 8 \text{ см}, MN = 5 \text{ см} \). Медиана, биссектриса, высота треугольника Задача 1. Дано: \( NO \) — медиана \( \triangle MNK \), \( OF = NO \). Доказать: \( \triangle MON = \triangle KOF \). Доказательство: Рассмотрим \( \triangle MON \) и \( \triangle KOF \): 1) \( NO = OF \) (по условию); 2) \( MO = OK \) (так как \( NO \) — медиана, \( O \) — середина \( MK \)); 3) \( \angle MON = \angle KOF \) (как вертикальные). Следовательно, \( \triangle MON = \triangle KOF \) по двум сторонам и углу между ними (I признак). Что и требовалось доказать. Второй и третий признаки равенства треугольников Задача 1. Дано: \( \angle MON = \angle PON \), \( NO \) — биссектриса \( \angle MNP \), \( \angle MNO = 28^\circ \), \( \angle NMO = 42^\circ \). Доказать: \( \triangle MON = \triangle PON \). Найти: углы \( \triangle NOP \). Доказательство: Рассмотрим \( \triangle MON \) и \( \triangle PON \): 1) \( NO \) — общая сторона; 2) \( \angle MON = \angle PON \) (по условию); 3) \( \angle MNO = \angle PNO \) (так как \( NO \) — биссектриса). Следовательно, \( \triangle MON = \triangle PON \) по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак). В равных треугольниках углы равны: \[ \angle PNO = \angle MNO = 28^\circ \] \[ \angle NPO = \angle NMO = 42^\circ \] Найдем третий угол \( \angle NOP \): \[ \angle NOP = 180^\circ - (28^\circ + 42^\circ) = 110^\circ \] Ответ: \( 28^\circ, 42^\circ, 110^\circ \).