Решить графически уравнения:
Вариант 1
а) \(2^x = x + 2\)
Для решения этого уравнения построим графики двух функций:
\(y_1 = 2^x\)
\(y_2 = x + 2\)
Таблица значений для \(y_1 = 2^x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y_1 = 2^x\) | \(1/4\) | \(1/2\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
Таблица значений для \(y_2 = x + 2\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y_2 = x + 2\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Одна точка пересечения при \(x = 2\), так как \(2^2 = 4\) и \(2 + 2 = 4\). Вторая точка пересечения при \(x = -1\), так как \(2^{-1} = 1/2\) и \(-1 + 2 = 1\). Однако, при \(x = -1\), \(2^{-1} = 0.5\), а \(-1 + 2 = 1\). Это не совпадает. Давайте перепроверим. При \(x = 0\), \(2^0 = 1\), \(0 + 2 = 2\). При \(x = 1\), \(2^1 = 2\), \(1 + 2 = 3\). При \(x = 2\), \(2^2 = 4\), \(2 + 2 = 4\). Значит, \(x = 2\) - одно из решений. При \(x = -1\), \(2^{-1} = 0.5\), \(-1 + 2 = 1\). При \(x = -2\), \(2^{-2} = 0.25\), \(-2 + 2 = 0\). Графики пересекаются в точке \(x = 2\). Также есть еще одна точка пересечения, которую сложно точно определить без графика, но она находится между \(-2\) и \(-1\). Приближенно, \(x \approx -1.69\). Для школьника достаточно найти целые решения или те, которые легко угадываются. В данном случае, \(x = 2\) является очевидным решением. Второе решение \(x \approx -1.69\) можно найти только с помощью более точного построения или численных методов. Если требуется только графическое решение, то на графике нужно отметить точки пересечения.
Ответ: \(x = 2\). Второе решение \(x \approx -1.69\).
б) \(3^x = 3x\)
Построим графики функций:
\(y_1 = 3^x\)
\(y_2 = 3x\)
Таблица значений для \(y_1 = 3^x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_1 = 3^x\) | \(1/9\) | \(1/3\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) |
Таблица значений для \(y_2 = 3x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_2 = 3x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(0\) | \(3\) | \(6\) |
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
При \(x = 1\), \(3^1 = 3\) и \(3 \cdot 1 = 3\). Значит, \(x = 1\) - решение.
Ответ: \(x = 1\).
в) \(2^x = x^2\)
Построим графики функций:
\(y_1 = 2^x\)
\(y_2 = x^2\)
Таблица значений для \(y_1 = 2^x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y_1 = 2^x\) | \(1/4\) | \(1/2\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) |
Таблица значений для \(y_2 = x^2\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y_2 = x^2\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) |
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в трех точках.
При \(x = 2\), \(2^2 = 4\) и \(2^2 = 4\). Значит, \(x = 2\) - решение.
При \(x = 4\), \(2^4 = 16\) и \(4^2 = 16\). Значит, \(x = 4\) - решение.
Есть еще одно решение, которое находится между \(-1\) и \(0\).
При \(x = -0.7667\), \(2^x \approx 0.587\) и \(x^2 \approx 0.587\). Это третье решение.
Ответ: \(x = 2\), \(x = 4\). Третье решение \(x \approx -0.7667\).
г) \(5^x = 5/x\)
Построим графики функций:
\(y_1 = 5^x\)
\(y_2 = 5/x\)
Таблица значений для \(y_1 = 5^x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_1 = 5^x\) | \(1/25\) | \(1/5\) | \(1\) | \(5\) | \(25\) |
Таблица значений для \(y_2 = 5/x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_2 = 5/x\) | \(-2.5\) | \(-5\) | не определено | \(5\) | \(2.5\) |
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
При \(x = 1\), \(5^1 = 5\) и \(5/1 = 5\). Значит, \(x = 1\) - решение.
Ответ: \(x = 1\).
д) \((1/4)^x = -4/x\)
Построим графики функций:
\(y_1 = (1/4)^x\)
\(y_2 = -4/x\)
Таблица значений для \(y_1 = (1/4)^x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_1 = (1/4)^x\) | \(16\) | \(4\) | \(1\) | \(1/4\) | \(1/16\) |
Таблица значений для \(y_2 = -4/x\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_2 = -4/x\) | \(2\) | \(4\) | не определено | \(-4\) | \(-2\) |
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
При \(x = -1\), \((1/4)^{-1} = 4\) и \(-4/(-1) = 4\). Значит, \(x = -1\) - решение.
Ответ: \(x = -1\).