Решение задачи: Доказательство, что H - подгруппа группы G

Задача №3 Дано: Множество \( G = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a, b, c, d \in \mathbb{Z} \} \) — аддитивная группа матриц второго порядка с целыми элементами. Множество \( H = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a, b, c, d \in \mathbb{Z}; a + b + c + d = 0 \} \). Доказать: \( H \) образует подгруппу группы \( G \). Доказательство: Для того чтобы подмножество \( H \) было подгруппой аддитивной группы \( G \), необходимо и достаточно выполнение трех условий: 1. Множество \( H \) не пусто. Рассмотрим нулевую матрицу \( \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Так как \( 0 \in \mathbb{Z} \) и сумма элементов \( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \), то \( \mathbf{0} \in H \). Следовательно, \( H \neq \varnothing \). 2. Замкнутость относительно операции сложения. Пусть матрицы \( A, B \in H \), где: \[ A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \] По определению множества \( H \): \[ a_1 + b_1 + c_1 + d_1 = 0 \quad \text{и} \quad a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = 0 \] Рассмотрим сумму матриц \( C = A + B \): \[ C = \begin{pmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ c_1 + c_2 & d_1 + d_2 \end{pmatrix} \] Проверим сумму элементов матрицы \( C \): \[ (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) + (c_1 + c_2) + (d_1 + d_2) = (a_1 + b_1 + c_1 + d_1) + (a_2 + b_2 + c_2 + d_2) = 0 + 0 = 0 \] Так как сумма элементов равна 0 и все элементы целые, то \( A + B \in H \). 3. Наличие противоположного элемента. Пусть \( A \in H \), тогда \( a + b + c + d = 0 \). Противоположная матрица \( -A = \begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{pmatrix} \). Проверим сумму элементов матрицы \( -A \): \[ (-a) + (-b) + (-c) + (-d) = -(a + b + c + d) = -0 = 0 \] Так как элементы \( -a, -b, -c, -d \) являются целыми и их сумма равна 0, то \( -A \in H \). Вывод: Все условия критерия подгруппы выполнены, следовательно, \( H \) является подгруппой группы \( G \). Что и требовалось доказать.