Порядок элемента группы S8: Решение задачи

Задание: Найти порядок элемента группы \( S_8 \). Дана подстановка: \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 2 & 1 & 5 & 7 & 4 & 6 & 3 \end{pmatrix} \] Решение: 1. Разложим данную подстановку в произведение независимых (непересекающихся) циклов. Для этого проследим путь каждого элемента: - Начнем с 1: \( 1 \to 8 \), \( 8 \to 3 \), \( 3 \to 1 \). Получили цикл \( (1, 8, 3) \). - Возьмем следующий свободный элемент 2: \( 2 \to 2 \). Это неподвижная точка, цикл \( (2) \). - Возьмем 4: \( 4 \to 5 \), \( 5 \to 7 \), \( 7 \to 6 \), \( 6 \to 4 \). Получили цикл \( (4, 5, 7, 6) \). Таким образом, подстановка в циклической записи выглядит так: \[ \sigma = (1, 8, 3)(2)(4, 5, 7, 6) \] 2. Определим длины полученных циклов: - Длина цикла \( (1, 8, 3) \) равна \( L_1 = 3 \). - Длина цикла \( (2) \) равна \( L_2 = 1 \). - Длина цикла \( (4, 5, 7, 6) \) равна \( L_3 = 4 \). 3. Порядок элемента в группе подстановок равен наименьшему общему кратному (НОК) длин его независимых циклов. \[ ord(\sigma) = НОК(L_1, L_2, L_3) = НОК(3, 1, 4) \] Вычислим НОК: - Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15... - Кратные 4: 4, 8, 12, 16... - Наименьшее общее кратное для 3 и 4 — это 12. \[ ord(\sigma) = 12 \] Ответ: Порядок элемента равен 12.