Вычисление производной функции: пример решения

Пример 1 Вычислить производную функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 72x + 90 \) в точке \( x = 5 \). Решение: 1. Найдем общую формулу производной функции, используя правила дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \): \[ f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' - (72x)' + (90)' \] \[ f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x - 72 + 0 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 72 \] 2. Вычислим значение производной в заданной точке \( x = 5 \): \[ f'(5) = 3 \cdot 5^2 + 6 \cdot 5 - 72 \] \[ f'(5) = 3 \cdot 25 + 30 - 72 \] \[ f'(5) = 75 + 30 - 72 \] \[ f'(5) = 105 - 72 \] \[ f'(5) = 33 \] Ответ: 33. --- Ниже представлены решения для нахождения производных функций, указанных в списке: 1. \( y = \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x \) Решение: \[ y' = \left( \frac{1}{5}x^5 \right)' - \left( \frac{2}{3}x^3 \right)' + (x)' \] \[ y' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 1 \] \[ y' = x^4 - 2x^2 + 1 \] 2. \( y = 2\sqrt{x} - 5\sqrt[5]{x^2} \) Решение: Представим корни в виде степеней: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( \sqrt[5]{x^2} = x^{2/5} \). \[ y = 2x^{1/2} - 5x^{2/5} \] \[ y' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 5 \cdot \frac{2}{5}x^{2/5 - 1} \] \[ y' = x^{-1/2} - 2x^{-3/5} \] \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x^3}} \] 3. \( y = x \cos x \) Решение: Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): Пусть \( u = x \), тогда \( u' = 1 \). Пусть \( v = \cos x \), тогда \( v' = -\sin x \). \[ y' = (x)' \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)' \] \[ y' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) \] \[ y' = \cos x - x \sin x \]