Доказательство абелевости группы при a²=e

Задача: Доказать, что если \( a^2 = e \) для любого элемента \( a \) некоторой группы \( G \), то эта группа абелева. Доказательство: 1. По условию для любого элемента \( a \in G \) выполняется равенство: \[ a^2 = e \] Это означает, что \( a \cdot a = e \). Умножив обе части этого равенства на \( a^{-1} \) слева, получим: \[ a = a^{-1} \] Таким образом, в данной группе каждый элемент является обратным самому себе. 2. Группа называется абелевой (коммутативной), если для любых двух элементов \( a, b \in G \) выполняется условие: \[ ab = ba \] 3. Рассмотрим произведение двух произвольных элементов \( a \) и \( b \) из группы \( G \). Обозначим их произведение как элемент \( c \): \[ c = ab \] Так как \( c \) также является элементом группы \( G \), для него тоже должно выполняться условие \( c = c^{-1} \). Следовательно: \[ ab = (ab)^{-1} \] 4. По свойствам обратного элемента в группе известно, что обратное к произведению равно произведению обратных элементов в обратном порядке: \[ (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \] 5. Подставим это в наше равенство: \[ ab = b^{-1}a^{-1} \] 6. Так как мы уже выяснили в пункте 1, что для любого элемента группы обратный равен самому элементу (\( a^{-1} = a \) и \( b^{-1} = b \)), произведем замену: \[ ab = ba \] Вывод: Мы доказали, что для любых элементов \( a \) и \( b \) выполняется переместительный закон. Следовательно, группа \( G \) является абелевой. Что и требовалось доказать.