Решение задач по теории групп, билет №1

Ниже представлены ответы на вопросы и решения задач из экзаменационного билета №1 по дисциплине «Основы теории групп». 1. Понятие группы. Порядок элемента. Группой называется множество \( G \) с заданной на нем бинарной операцией (обычно называемой умножением), которая удовлетворяет следующим аксиомам: 1) Ассоциативность: для любых \( a, b, c \in G \) выполняется \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \). 2) Наличие нейтрального элемента: существует такой элемент \( e \in G \), что для любого \( a \in G \) выполняется \( a \cdot e = e \cdot a = a \). 3) Наличие обратного элемента: для любого \( a \in G \) существует такой элемент \( a^{-1} \in G \), что \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e \). Порядком элемента \( a \) группы \( G \) называется наименьшее натуральное число \( n \), такое что \( a^n = e \). Если такого числа не существует, говорят, что элемент имеет бесконечный порядок. 2. Конечные симметрические группы. Симметрической группой \( S_n \) называется группа всех перестановок (подстановок) множества из \( n \) элементов. Операцией в этой группе является композиция перестановок. Основные свойства: - Порядок группы (количество элементов) равен \( n! \) (эн-факториал). - Любая перестановка может быть разложена в произведение независимых циклов. - Любая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций (циклов длины 2). 3. Доказать, что в симметрической группе \( S_n \) порядок нечетной подстановки является четным числом. Доказательство: Пусть \( \sigma \) — нечетная подстановка, и её порядок равен \( k \). По определению порядка, \( \sigma^k = \varepsilon \), где \( \varepsilon \) — тождественная (четная) подстановка. Рассмотрим знак подстановки \( sgn(\sigma) \). Для нечетной подстановки \( sgn(\sigma) = -1 \). Используя свойство гомоморфизма знака: \[ sgn(\sigma^k) = (sgn(\sigma))^k \] Так как \( \sigma^k = \varepsilon \), а знак тождественной подстановки равен 1, получаем: \[ 1 = (-1)^k \] Данное равенство верно только в том случае, если \( k \) — четное число. Что и требовалось доказать. 4. Найти порядок элемента группы. Дана матрица \( M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \). Заметим, что в условии на фото в четвертой строке стоит \( (1, 0, 0, 0) \), что делает матрицу вырожденной (определитель равен 0), так как 2-я и 4-я строки совпадают. Однако указано, что матрица принадлежит \( GL_4(R) \). Вероятно, в условии опечатка, и матрица является матрицей перестановки. Если предположить, что это перестановка \( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \), то: Разложим её в циклы: \( (1 \to 2 \to 4 \to 3 \to 1) \). Это цикл длины 4. Порядок цикла равен его длине. Следовательно, порядок матрицы равен 4. 5. Найти коммутатор матриц \( A \) и \( B \). Коммутатор в теории групп определяется как \( [A, B] = A B A^{-1} B^{-1} \). Дано: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 1) Найдем обратные матрицы: Так как \( A \) диагональная, \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \). Для \( B \) (верхнетреугольная): \( B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). 2) Вычислим \( AB \): \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] 3) Вычислим \( A^{-1}B^{-1} \): \[ A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \] 4) Итоговый коммутатор \( [A, B] = (AB)(A^{-1}B^{-1}) \): \[ [A, B] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -1/6 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]