Решение задачи: вычисление выражений со степенями и корнями

Ниже представлено решение заданий из карточки (2 вариант), оформленное для записи в тетрадь. 1. Найдите значение выражения: а) \( 2^{-10} \cdot 2^8 = 2^{-10 + 8} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25 \) б) \( 8^{-22} : 8^{-24} = 8^{-22 - (-24)} = 8^{-22 + 24} = 8^2 = 64 \) в) \( (8^{-3})^{-1} = 8^{-3 \cdot (-1)} = 8^3 = 512 \) 2. Вычислите: а) \( 5 \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 5 \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15 \) б) \( 125^{-\frac{2}{3}} = (5^3)^{-\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04 \) в) \( \frac{(2^{-2})^4 \cdot 16^2}{64^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{-8} \cdot (2^4)^2}{\sqrt{64}} = \frac{2^{-8} \cdot 2^8}{8} = \frac{2^0}{8} = \frac{1}{8} = 0,125 \) г) \( 3 \cdot (-27)^{\frac{1}{3}} - 0,1 \cdot 81^{\frac{3}{4}} + \sqrt[8]{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{-27} - 0,1 \cdot (3^4)^{\frac{3}{4}} + 1 = 3 \cdot (-3) - 0,1 \cdot 3^3 + 1 = -9 - 0,1 \cdot 27 + 1 = -9 - 2,7 + 1 = -10,7 \) 3. Упростите выражение: а) \( a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}} \) б) \( \frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}} = x^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{4}} = x^1 = x \) в) \( (c^{\frac{2}{3}})^3 \cdot c^{-\frac{3}{2}} = c^{\frac{2}{3} \cdot 3} \cdot c^{-\frac{3}{2}} = c^2 \cdot c^{-1,5} = c^{2 - 1,5} = c^{0,5} = c^{\frac{1}{2}} \) г) \( (81m^{-4})^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (m^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} \cdot m^3 = \frac{m^3}{3^3} = \frac{m^3}{27} \) д) \( \frac{d^{5,2} \cdot d^{-4,8}}{d^{2,3} \cdot d^{-2,7}} = \frac{d^{5,2 - 4,8}}{d^{2,3 - 2,7}} = \frac{d^{0,4}}{d^{-0,4}} = d^{0,4 - (-0,4)} = d^{0,4 + 0,4} = d^{0,8} \)