Решение задачи: определение высоты дерева на склоне

Дано: Угол склона холма к горизонту: \( \alpha = 15^{\circ} \) Угол между склоном и лучом зрения на вершину дерева: \( \beta = 45^{\circ} \) Расстояние, пройденное по склону до дерева: \( L = 54 \) м Найти: Высота дерева \( H \) — ? Решение: Рассмотрим треугольник, образованный высотой дерева, склоном холма и лучом зрения человека. 1. Угол между деревом (которое растет вертикально вверх) и горизонтальной плоскостью равен \( 90^{\circ} \). 2. Так как склон наклонен к горизонту под углом \( 15^{\circ} \), то угол между деревом и склоном холма (внутри треугольника) составит: \[ \gamma = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \] 3. Теперь рассмотрим углы в треугольнике: - Угол при вершине, где находится человек: \( \beta = 45^{\circ} \) - Угол при основании дерева: \( \gamma = 75^{\circ} \) - Угол при верхушке дерева (обозначим его \( \delta \)) можно найти по сумме углов треугольника: \[ \delta = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \] 4. Для нахождения высоты дерева \( H \) воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{H}{\sin(45^{\circ})} = \frac{L}{\sin(60^{\circ})} \] Отсюда выражаем \( H \): \[ H = \frac{L \cdot \sin(45^{\circ})}{\sin(60^{\circ})} \] 5. Подставим числовые значения: \[ \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \] \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \] \[ H = \frac{54 \cdot 0,707}{0,866} \approx \frac{38,178}{0,866} \approx 44,085 \] Округлим до целого числа, так как в задаче просят указать примерную высоту. Ответ: 44 м.