Решение задачи: Найти PQ в квадрате с вписанной окружностью

Дано: \(ABCD\) — квадрат, сторона \(a = 1\). Окружность вписана в квадрат, касается \(BC\) в точке \(K\). \(AK\) и \(DK\) пересекают окружность в точках \(P\) и \(Q\). Найти: \(PQ\). Решение: 1. Введем систему координат. Пусть \(A(0; 0)\), \(B(0; 1)\), \(C(1; 1)\), \(D(1; 0)\). Так как окружность вписана в квадрат со стороной 1, её центр находится в точке \(O(0,5; 0,5)\), а радиус \(R = 0,5\). Точка \(K\) — середина стороны \(BC\), её координаты \(K(0,5; 1)\). 2. Уравнение окружности: \[(x - 0,5)^2 + (y - 0,5)^2 = 0,25\] 3. Найдем уравнение прямой \(AK\). Она проходит через точки \((0; 0)\) и \((0,5; 1)\). Уравнение прямой: \(y = 2x\). 4. Найдем координаты точки \(P\) (пересечение прямой \(AK\) и окружности). Подставим \(y = 2x\) в уравнение окружности: \[(x - 0,5)^2 + (2x - 0,5)^2 = 0,25\] \[x^2 - x + 0,25 + 4x^2 - 2x + 0,25 = 0,25\] \[5x^2 - 3x + 0,25 = 0\] Умножим на 4 для удобства: \[20x^2 - 12x + 1 = 0\] Найдем дискриминант: \(D = 144 - 80 = 64\). \[x = \frac{12 \pm 8}{40}\] \(x_1 = \frac{20}{40} = 0,5\) (это абсцисса точки \(K\)). \(x_2 = \frac{4}{40} = 0,1\) (это абсцисса точки \(P\)). Тогда ордината точки \(P\): \(y = 2 \cdot 0,1 = 0,2\). Координаты \(P(0,1; 0,2)\). 5. В силу симметрии квадрата и окружности относительно прямой \(x = 0,5\), точка \(Q\) имеет ту же ординату, что и \(P\), а её абсцисса симметрична относительно \(0,5\): \(x_Q = 1 - 0,1 = 0,9\). Координаты \(Q(0,9; 0,2)\). 6. Найдем длину отрезка \(PQ\): \[PQ = x_Q - x_P = 0,9 - 0,1 = 0,8\] Теоретические факты, которые используются в решении (для выбора в тесте): — Определение окружности, вписанной в четырёхугольник. — Свойство равнобедренного треугольника (треугольник \(AKD\) равнобедренный, \(PQ\) параллельно \(AD\)). — Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) — для доказательства симметрии \(AK\) и \(DK\). — Теорема о касательной и секущей (можно использовать как альтернативный метод решения). Ответ к задаче: 0,8