Решение: Определение нелинейного звена по коэффициенту гармонической линеаризации

Ниже представлены ответы на вопросы 17 и 18. Вопрос 17. На рисунке приведен коэффициент гармонической линеаризации. Какому нелинейному статическому звену он относится? На рисунке формула: \[ W_{нл}(x_m) = \frac{4Z}{\pi x_m} \left[ \sqrt{1 - \left( \frac{x_{ср}}{x_m} \right)^2} + j \frac{x_{ср}}{x_m} \right] \] Правильный ответ: b. Двухпозиционное реле с положительным гистерезисом Пояснение для тетради: Данный коэффициент гармонической линеаризации имеет комплексный вид (содержит мнимую единицу \( j \)). Это указывает на наличие петли гистерезиса в характеристике нелинейного звена, так как именно гистерезис создает фазовый сдвиг. Формула соответствует двухпозиционному релейному элементу с зоной нечувствительности или петлей гистерезиса, где \( Z \) — уровень выходного сигнала, а \( x_{ср} \) — параметр срабатывания. Вопрос 18. Определить устойчивость разомкнутой системы по известной ее передаточной \( W(p) \). Использовать критерий Гурвица. Дано: \( m=1, n=6, k=6, b=-2, A=5 \). Передаточная функция: \[ W(p) = \frac{A}{m \cdot p^3 + n \cdot p^2 + k \cdot p + b} \] Решение для тетради: 1. Запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы (знаменатель передаточной функции): \[ D(p) = m \cdot p^3 + n \cdot p^2 + k \cdot p + b = 0 \] Подставим числовые значения: \[ 1 \cdot p^3 + 6 \cdot p^2 + 6 \cdot p - 2 = 0 \] 2. Проверим необходимое условие устойчивости: Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были одного знака и отличны от нуля. В нашем случае коэффициенты: \( a_0 = 1, a_1 = 6, a_2 = 6, a_3 = -2 \). Так как коэффициент \( a_3 = -2 \) отрицательный (имеет другой знак по сравнению с остальными), необходимое условие устойчивости не выполняется. 3. Составим определители Гурвица для подтверждения: Матрица Гурвица для уравнения 3-й степени: \[ \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 0 \\ a_0 & a_2 & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 0 \\ 1 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & -2 \end{pmatrix} \] Вычислим определители: \[ \Delta_1 = a_1 = 6 \] \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 6 \cdot 6 - (-2) \cdot 1 = 36 + 2 = 38 \] \[ \Delta_3 = a_3 \cdot \Delta_2 = -2 \cdot 38 = -76 \] Вывод: Так как один из определителей Гурвица (\( \Delta_3 \)) отрицателен (а также нарушено необходимое условие по знакам коэффициентов), разомкнутая система является неустойчивой. Ответ: \( \Delta_1 = 6, \Delta_2 = 38, \Delta_3 = -76 \). Система неустойчива.