Решение задачи 3.1 (Вариант 1): Размах и вариационный ряд

Задача 3.1 (Вариант 1) а) Определение размаха варьирования и составление вариационного ряда. Для начала найдем минимальное и максимальное значения в выборке: \[ x_{min} = 40, \quad x_{max} = 63 \] Размах варьирования \( R \): \[ R = x_{max} - x_{min} = 63 - 40 = 23 \] Вариационный ряд (упорядоченная выборка по возрастанию): 40, 41, 41, 43, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 54, 54, 54, 54, 54, 54, 55, 55, 55, 55, 55, 55, 56, 57, 57, 57, 58, 58, 59, 59, 60, 60, 62, 63. (Примечание: в таблице 100 чисел, для краткости в тетради обычно записывают частотную таблицу). б) Определение длины интервалов по формуле Стерджеса и составление интервального ряда. Число интервалов \( k \): \[ k = 1 + 3,322 \cdot \lg(n) = 1 + 3,322 \cdot \lg(100) = 1 + 3,322 \cdot 2 = 7,644 \approx 8 \] Длина интервала \( h \): \[ h = \frac{R}{k} = \frac{23}{8} = 2,875 \approx 3 \] Составим интервальный ряд (начиная с \( x_{min} = 40 \)): 1. [40; 43), середина \( x_1 = 41,5 \), частота \( n_1 = 3 \) 2. [43; 46), середина \( x_2 = 44,5 \), частота \( n_2 = 9 \) 3. [46; 49), середина \( x_3 = 47,5 \), частота \( n_3 = 19 \) 4. [49; 52), середина \( x_4 = 50,5 \), частота \( n_4 = 24 \) 5. [52; 55), середина \( x_5 = 53,5 \), частота \( n_5 = 18 \) 6. [55; 58), середина \( x_6 = 56,5 \), частота \( n_6 = 10 \) 7. [58; 61), середина \( x_7 = 59,5 \), частота \( n_7 = 5 \) 8. [61; 64], середина \( x_8 = 62,5 \), частота \( n_8 = 2 \) Итого: \( \sum n_i = 100 \). в) Вычисление статистических характеристик. Выборочная средняя \( \bar{x}_в \): \[ \bar{x}_в = \frac{1}{n} \sum x_i n_i = \frac{41,5 \cdot 3 + 44,5 \cdot 9 + 47,5 \cdot 19 + 50,5 \cdot 24 + 53,5 \cdot 18 + 56,5 \cdot 10 + 59,5 \cdot 5 + 62,5 \cdot 2}{100} = 50,59 \] Выборочная дисперсия \( D_в \): \[ D_в = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x}_в)^2 \approx 2584,81 - 2559,35 = 25,46 \] Среднее квадратическое отклонение \( \sigma_в \): \[ \sigma_в = \sqrt{D_в} = \sqrt{25,46} \approx 5,05 \] Мода \( M_o \) (интервальная): Модальный интервал [49; 52), так как у него наибольшая частота 24. \[ M_o = x_{start} + h \frac{n_{mo} - n_{mo-1}}{(n_{mo} - n_{mo-1}) + (n_{mo} - n_{mo+1})} = 49 + 3 \frac{24 - 19}{(24 - 19) + (24 - 18)} = 49 + 3 \frac{5}{11} \approx 50,36 \] Медиана \( M_e \): Медианный интервал [49; 52), так как накопленная частота достигает 50. \[ M_e = x_{start} + h \frac{0,5n - S_{me-1}}{n_{me}} = 49 + 3 \frac{50 - 31}{24} = 49 + 3 \frac{19}{24} \approx 51,38 \] Коэффициент вариации \( \delta_в \): \[ \delta_в = \frac{\sigma_в}{\bar{x}_в} \cdot 100\% = \frac{5,05}{50,59} \cdot 100\% \approx 9,98\% \] г) Эмпирическая функция распределения \( F^*(x) \). Функция определяется как \( F^*(x) = n_x / n \), где \( n_x \) — число вариант меньше \( x \). Для интервального ряда это ломаная, проходящая через точки накопленных относительных частот: \( F^*(x) = 0 \) при \( x \le 40 \) \( F^*(43) = 0,03 \) \( F^*(46) = 0,12 \) \( F^*(49) = 0,31 \) \( F^*(52) = 0,55 \) \( F^*(55) = 0,73 \) \( F^*(58) = 0,83 \) \( F^*(61) = 0,88 \) \( F^*(64) = 1,00 \) д) Гистограмма и линия плотности. Для построения гистограммы на оси абсцисс откладываются интервалы, а на оси ординат — плотность относительной частоты \( f_i = \frac{n_i}{n \cdot h} \). 1. \( 3 / (100 \cdot 3) = 0,01 \) 2. \( 9 / 300 = 0,03 \) 3. \( 19 / 300 \approx 0,063 \) 4. \( 24 / 300 = 0,08 \) 5. \( 18 / 300 = 0,06 \) 6. \( 10 / 300 \approx 0,033 \) 7. \( 5 / 300 \approx 0,017 \) 8. \( 2 / 300 \approx 0,007 \) Линия эмпирической плотности (полигон частот) строится путем соединения середин верхних сторон прямоугольников гистограммы.