Решение задачи: Квадрат, вписанный и описанный около окружности

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность радиуса \(R\) и описанного около окружности радиуса \(r\). Основные формулы для квадрата: 1. Связь стороны квадрата \(a_4\) и радиуса описанной окружности \(R\): \[a_4 = R\sqrt{2} \implies R = \frac{a_4}{\sqrt{2}}\] 2. Связь стороны квадрата \(a_4\) и радиуса вписанной окружности \(r\): \[r = \frac{a_4}{2} \implies a_4 = 2r\] 3. Периметр квадрата: \[P = 4a_4\] 4. Площадь квадрата: \[S = a_4^2\] Заполним таблицу по строкам: Строка 1: Дано \(a_4 = 6\). \[r = \frac{6}{2} = 3\] \[R = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\] \[P = 4 \cdot 6 = 24\] \[S = 6^2 = 36\] Строка 2: Дано \(r = 2\). \[a_4 = 2 \cdot 2 = 4\] \[R = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\] \[P = 4 \cdot 4 = 16\] \[S = 4^2 = 16\] Строка 3: Дано \(R = 4\). \[a_4 = 4\sqrt{2}\] \[r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\] \[P = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\] \[S = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32\] Строка 4: Дано \(P = 28\). \[a_4 = \frac{28}{4} = 7\] \[r = \frac{7}{2} = 3,5\] \[R = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} = 3,5\sqrt{2}\] \[S = 7^2 = 49\] Строка 5: Дано \(S = 16\). \[a_4 = \sqrt{16} = 4\] \[r = \frac{4}{2} = 2\] \[R = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\] \[P = 4 \cdot 4 = 16\] Итоговая таблица для переписывания в тетрадь: N | R | r | a4 | P | S 1 | \(3\sqrt{2}\) | 3 | 6 | 24 | 36 2 | \(2\sqrt{2}\) | 2 | 4 | 16 | 16 3 | 4 | \(2\sqrt{2}\) | \(4\sqrt{2}\) | \(16\sqrt{2}\) | 32 4 | \(3,5\sqrt{2}\) | 3,5 | 7 | 28 | 49 5 | \(2\sqrt{2}\) | 2 | 4 | 16 | 16