Решение задачи №1177: Правильный (равносторонний) треугольник

Задача №1177. Решение для правильного (равностороннего) треугольника. Для заполнения таблицы воспользуемся основными формулами для правильного треугольника: 1. Связь стороны \(a_3\) и радиуса описанной окружности \(R\): \(a_3 = R\sqrt{3}\). 2. Связь радиуса вписанной окружности \(r\) и радиуса описанной окружности \(R\): \(r = \frac{R}{2}\). 3. Периметр: \(P = 3a_3\). 4. Площадь: \(S = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4}\) или \(S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}\). Рассчитаем значения для каждой строки: Строка 1: Дано \(R = 3\). \[ r = \frac{3}{2} = 1,5 \] \[ a_3 = 3\sqrt{3} \] \[ P = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \] \[ S = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3^2}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6,75\sqrt{3} \] Строка 2: Дано \(r = 2\). Так как \(R = 2r\), то \(R = 4\). \[ a_3 = 4\sqrt{3} \] \[ P = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \] \[ S = \frac{3\sqrt{3} \cdot 4^2}{4} = 12\sqrt{3} \] Строка 3: Дано \(a_3 = 5\). \[ R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \] \[ r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \] \[ P = 3 \cdot 5 = 15 \] \[ S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} = 6,25\sqrt{3} \] Строка 4: Дано \(P = 6\). \[ a_3 = \frac{P}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] \[ R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] \[ r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ S = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \] Строка 5: Дано \(S = 10\). Из формулы \(S = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4}\) находим \(a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}}\), тогда \(a_3 = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}}\). Это значение неудобно для школьной таблицы, проверим формулу через \(R\): \(10 = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4} \Rightarrow R^2 = \frac{40}{3\sqrt{3}}\). Обычно в таких задачах значения подбираются целыми, но исходя из \(S=10\): \[ a_3 = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}} \] \[ P = \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}} \] \[ R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{3^{3/4}} \] \[ r = \frac{\sqrt{10}}{3^{3/4}} \] Заполненная таблица для тетради (приблизительные или иррациональные значения): N | R | r | a3 | P | S 1 | 3 | 1,5 | \(3\sqrt{3}\) | \(9\sqrt{3}\) | \(6,75\sqrt{3}\) 2 | 4 | 2 | \(4\sqrt{3}\) | \(12\sqrt{3}\) | \(12\sqrt{3}\) 3 | \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) | \(\frac{5\sqrt{3}}{6}\) | 5 | 15 | \(6,25\sqrt{3}\) 4 | \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 2 | 6 | \(\sqrt{3}\) 5 | \(\approx 2,77\) | \(\approx 1,39\) | \(\approx 4,8\) | \(\approx 14,4\) | 10