Решение задачи 1177: Равносторонний треугольник

Для решения задачи №1177 воспользуемся формулами для правильного (равностороннего) треугольника. Основные формулы: 1. Связь стороны \(a_3\) и радиуса описанной окружности \(R\): \(a_3 = R\sqrt{3}\) 2. Связь радиуса вписанной окружности \(r\) и радиуса описанной окружности \(R\): \(r = \frac{R}{2}\) 3. Периметр: \(P = 3a_3\) 4. Площадь: \(S = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4}\) или \(S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}\) Заполним таблицу по строкам: Строка 1: Дано \(R = 3\) \(r = \frac{3}{2} = 1,5\) \(a_3 = 3\sqrt{3}\) \(P = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\) \(S = \frac{(3\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6,75\sqrt{3}\) Строка 2: Дано \(r = 2\) \(R = 2r = 4\) \(a_3 = 4\sqrt{3}\) \(P = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) \(S = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}\) Строка 3: Дано \(a_3 = 5\) \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) \(r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}\) \(P = 3 \cdot 5 = 15\) \(S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} = 6,25\sqrt{3}\) Строка 4: Дано \(P = 6\) \(a_3 = \frac{P}{3} = \frac{6}{3} = 2\) \(R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) \(r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) \(S = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\) Строка 5: Дано \(S = 10\) \(\frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = 10 \Rightarrow a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_3 = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}\) \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3}}\) \(r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3}}\) \(P = 3a_3 = \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}\) Итоговая таблица для переписывания:

N	\(R\)	\(r\)	\(a_3\)	\(P\)	\(S\)
1	3	1,5	\(3\sqrt{3}\)	\(9\sqrt{3}\)	\(6,75\sqrt{3}\)
2	4	2	\(4\sqrt{3}\)	\(12\sqrt{3}\)	\(12\sqrt{3}\)
3	\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)	\(\frac{5\sqrt{3}}{6}\)	5	15	\(6,25\sqrt{3}\)
4	\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	2	6	\(\sqrt{3}\)
5	\(\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}\)	\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}\)	\(\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}\)	\(\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}\)	10