Решение системы уравнений с подробным объяснением

Решим системы уравнений из левого и правого столбцов. Левый столбец, №1: \[ \begin{cases} (x - 2)(y - 1) = 30 \\ 2x - y = 10 \end{cases} \] 1. Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 2x - 10\). 2. Подставим в первое уравнение: \[ (x - 2)(2x - 10 - 1) = 30 \] \[ (x - 2)(2x - 11) = 30 \] \[ 2x^2 - 11x - 4x + 22 = 30 \] \[ 2x^2 - 15x - 8 = 0 \] 3. Найдем дискриминант: \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 = 17^2\). 4. Корни \(x\): \[ x_1 = \frac{15 + 17}{4} = 8; \quad x_2 = \frac{15 - 17}{4} = -0,5 \] 5. Найдем \(y\): \[ y_1 = 2 \cdot 8 - 10 = 6; \quad y_2 = 2 \cdot (-0,5) - 10 = -11 \] Ответ: \((8; 6), (-0,5; -11)\). Левый столбец, №2: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 9 \\ xy = 20 \end{cases} \] 1. Выразим \(y = \frac{20}{x}\) и подставим в первое: \[ x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 9 \Rightarrow x^2 - \frac{400}{x^2} = 9 \] 2. Пусть \(x^2 = t, t > 0\): \[ t - \frac{400}{t} = 9 \Rightarrow t^2 - 9t - 400 = 0 \] 3. По теореме Виета: \(t_1 = 25, t_2 = -16\) (не подходит). 4. \(x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5\). 5. \(y_1 = \frac{20}{5} = 4, y_2 = \frac{20}{-5} = -4\). Ответ: \((5; 4), (-5; -4)\). Правый столбец, №1: \[ \begin{cases} x^2 + 2y = 6 \\ y - x = -1 \end{cases} \] 1. Выразим \(y = x - 1\) и подставим в первое: \[ x^2 + 2(x - 1) = 6 \] \[ x^2 + 2x - 2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \] 2. По теореме Виета: \(x_1 = -4, x_2 = 2\). 3. Найдем \(y\): \[ y_1 = -4 - 1 = -5; \quad y_2 = 2 - 1 = 1 \] Ответ: \((-4; -5), (2; 1)\). Правый столбец, №2: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ x^2 - 4y = 4 \end{cases} \] 1. Выразим \(2y\) из первого уравнения: \(2y = 3x - 6\). 2. Тогда \(4y = 2(3x - 6) = 6x - 12\). 3. Подставим во второе уравнение: \[ x^2 - (6x - 12) = 4 \] \[ x^2 - 6x + 12 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0 \] 4. По теореме Виета: \(x_1 = 2, x_2 = 4\). 5. Найдем \(y\) из \(y = \frac{3x - 6}{2}\): \[ y_1 = \frac{3 \cdot 2 - 6}{2} = 0; \quad y_2 = \frac{3 \cdot 4 - 6}{2} = 3 \] Ответ: \((2; 0), (4; 3)\).