Решение задач №584 и №587 по математике: Теорема Виета

Решение задач по математике. № 584. Найдите подбором корни уравнения. Для решения воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). а) \(x^2 + 16x + 63 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -16 \\ x_1 \cdot x_2 = 63 \end{cases} \] Подберем множители числа 63, сумма которых дает -16. Это числа -7 и -9. Проверка: \(-7 \cdot (-9) = 63\); \(-7 + (-9) = -16\). Ответ: \(x_1 = -7\), \(x_2 = -9\). б) \(x^2 + 2x - 48 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -48 \end{cases} \] Подберем множители числа -48, сумма которых дает -2. Это числа -8 и 6. Проверка: \(-8 \cdot 6 = -48\); \(-8 + 6 = -2\). Ответ: \(x_1 = -8\), \(x_2 = 6\). № 587. Один из корней уравнения \(5x^2 + bx + 24 = 0\) равен 8. Найдите другой корень и коэффициент \(b\). Дано: \(5x^2 + bx + 24 = 0\), \(x_1 = 8\). Решение: Воспользуемся теоремой Виета для общего квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] 1) Найдем второй корень \(x_2\), используя произведение: \[ 8 \cdot x_2 = \frac{24}{5} \] \[ 8 \cdot x_2 = 4,8 \] \[ x_2 = 4,8 : 8 \] \[ x_2 = 0,6 \] 2) Найдем коэффициент \(b\), используя сумму корней: \[ 8 + 0,6 = -\frac{b}{5} \] \[ 8,6 = -\frac{b}{5} \] \[ b = -8,6 \cdot 5 \] \[ b = -43 \] Ответ: \(x_2 = 0,6\), \(b = -43\).