Решение задач со страницы 2

Ниже представлены решения задач со второй страницы. Часть 1 (продолжение) Задание 19. Найдите значение производной функции \( y = x^2 + 10x \) в точке \( x_0 = -2 \). 1) Находим производную: \[ y' = (x^2 + 10x)' = 2x + 10 \] 2) Вычисляем значение в точке: \[ y'(-2) = 2 \cdot (-2) + 10 = -4 + 10 = 6 \] Ответ: 6. Задание 20. Справедливо ли утверждение (теорема о трех перпендикулярах)? Ответ: а) да. Задание 21. Найдите координаты вектора \( 2\vec{a} - \vec{b} \), если \( \vec{a}(2; 1; -1) \), \( \vec{b}(3; 2; 4) \). 1) \( 2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot 1; 2 \cdot (-1)) = (4; 2; -2) \) 2) \( 2\vec{a} - \vec{b} = (4 - 3; 2 - 2; -2 - 4) = (1; 0; -6) \) Ответ: (1; 0; -6). Задание 23. Выберите верные утверждения: Ответ: а) Если прямая пересекает две смежные стороны квадрата, то она лежит в его плоскости (так как две пересекающиеся прямые задают плоскость). Задание 24. Сколько можно провести плоскостей через точку, перпендикулярных данной плоскости? Ответ: б) много (все плоскости, проходящие через прямую, перпендикулярную данной плоскости). Задание 25. Сколько наклонных заданной длины можно провести из точки к плоскости? Ответ: б) много (они образуют конус). Задание 26. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра? Ответ: 2) нет (перпендикуляр — кратчайшее расстояние). Задание 27. Справедливо ли утверждение? Ответ: б) нет (через центр можно провести бесконечно много прямых, не все они перпендикулярны диаметру). Задание 28. Найдите координаты вектора \( \vec{a} + 2\vec{b} \), если \( \vec{a}(0; 1; -1) \), \( \vec{b}(3; 1; 4) \). 1) \( 2\vec{b} = (6; 2; 8) \) 2) \( \vec{a} + 2\vec{b} = (0 + 6; 1 + 2; -1 + 8) = (6; 3; 7) \) Ответ: (6; 3; 7). Задание 30. Сколько перпендикуляров заданной длины можно провести из точки к плоскости? Ответ: 1) один (длина перпендикуляра фиксирована геометрически). Задание 31. Если наклонные равны, то их проекции: Ответ: 1) равны. Задание 32. Две плоскости могут иметь общих точек: Ответ: 3) ноль (если параллельны) или 4) много (если пересекаются по прямой или совпадают). В контексте школьной программы обычно выбирают 3 или 4. Часть 2 Задание 1. Решите уравнения: а) \( 6\sin^2 x - \cos x - 4 = 0 \) Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \): \[ 6(1 - \cos^2 x) - \cos x - 4 = 0 \] \[ 6 - 6\cos^2 x - \cos x - 4 = 0 \] \[ -6\cos^2 x - \cos x + 2 = 0 \quad | \cdot (-1) \] \[ 6\cos^2 x + \cos x - 2 = 0 \] Пусть \( \cos x = t \), где \( |t| \le 1 \). \[ 6t^2 + t - 2 = 0 \] \[ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 \] \[ t_1 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{1}{2}; \quad t_2 = \frac{-1 - 7}{12} = -\frac{2}{3} \] 1) \( \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) 2) \( \cos x = -\frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 \) \[ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \] \[ 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \] \[ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \] Пусть \( \cos x = t \): \[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \] \[ D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 \] \[ t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \text{ (не подходит, так как } |t| \le 1) \] \[ t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Задание 2. Дано: \( AC:CB = 3:2 \), \( BB_1 = 20 \) см. Найти \( CC_1 \). Рассмотрим подобные треугольники \( ACC_1 \) и \( ABB_1 \) (по двум углам). Так как \( AC:CB = 3:2 \), то \( AC = 3k \), \( CB = 2k \), следовательно \( AB = AC + CB = 5k \). Из подобия: \[ \frac{CC_1}{BB_1} = \frac{AC}{AB} \] \[ \frac{CC_1}{20} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} \] \[ CC_1 = \frac{20 \cdot 3}{5} = 12 \text{ (см)} \] Ответ: 12 см.