Решение задачи y'' + 2y' = 3e^x - Билет 1

БИЛЕТ 1 Задача 1. Найти общее решение ЛНДУ \[ y'' + 2y' = 3e^x \] Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения \( y_{оо} \) и частного решения неоднородного уравнения \( y_{чн} \): \[ y = y_{оо} + y_{чн} \] 1. Найдем общее решение однородного уравнения \( y'' + 2y' = 0 \). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 2k = 0 \] \[ k(k + 2) = 0 \] Корни уравнения: \( k_1 = 0 \), \( k_2 = -2 \). Тогда общее решение однородного уравнения: \[ y_{оо} = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{-2x} = C_1 + C_2 e^{-2x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y_{чн} \). Правая часть имеет вид \( f(x) = 3e^x \). Так как число 1 (коэффициент в показателе экспоненты) не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = A e^x \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = A e^x \] \[ y''_{чн} = A e^x \] Подставим их в исходное уравнение: \[ A e^x + 2(A e^x) = 3e^x \] \[ 3A e^x = 3e^x \] Отсюда \( 3A = 3 \), значит \( A = 1 \). Следовательно, \( y_{чн} = e^x \). 3. Запишем общее решение: \[ y = C_1 + C_2 e^{-2x} + e^x \] Ответ: \( y = C_1 + C_2 e^{-2x} + e^x \). Задача 2. Исследовать ряд на сходимость \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3^n} \] Решение: Для исследования ряда с положительными членами воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда: \[ a_n = \frac{n!}{3^n} \] Запишем следующий член ряда: \[ a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} \] Вычислим предел отношения последующего члена к предыдущему: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n!} \right) \] Упростим выражение под пределом, учитывая, что \( (n+1)! = n! \cdot (n+1) \) и \( 3^{n+1} = 3^n \cdot 3 \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot (n+1) \cdot 3^n}{3^n \cdot 3 \cdot n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{3} = \infty \] Так как \( L = \infty \), что значительно больше 1, то по признаку Даламбера ряд расходится. Ответ: ряд расходится.