Решение задач из учебника: примеры с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач из Части 1, оформленные для записи в тетрадь. Задание 2. Сколько минут составляют 15% от часа? В одном часе 60 минут. Чтобы найти 15%, нужно 60 умножить на 0,15. \[ 60 \cdot 0,15 = 9 \text{ (минут)} \] Ответ: 9 минут. Задание 3. На спектакль продано 476 билетов (85%). Какова вместимость зала? Пусть \( x \) — вместимость зала. Составим пропорцию: \[ 0,85 \cdot x = 476 \] \[ x = \frac{476}{0,85} = 560 \] Ответ: 560 мест. Задание 4. Косинус — это: Правильный ответ: б) отношение абсциссы точки к радиусу окружности. Задание 5. Упростить: \( -4\sin^2 \alpha + 5 - 4\cos^2 \alpha \). Сгруппируем слагаемые с синусом и косинусом: \[ -4(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 5 \] Так как по основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем: \[ -4 \cdot 1 + 5 = 1 \] Ответ: 1. Задание 7. Сколько килограмм составляет 18% центнера? В одном центнере 100 кг. \[ 100 \cdot 0,18 = 18 \text{ (кг)} \] Ответ: 18 кг. Задание 8. Продано 280 билетов (75%). Сколько дошкольников вместил зал? В данном контексте под "вместил" подразумевается количество пришедших по билетам. \[ 280 \text{ человек.} \] Если же нужно найти полную вместимость зала (100%): \[ \frac{280}{0,75} = \frac{280 \cdot 4}{3} \approx 373 \] Ответ: 280 человек. Задание 10. Отношение ординаты точки к ее абсциссе — это: Правильный ответ: в) тангенс. Задание 11. Если функция возрастает, то производная: Правильный ответ: 2) больше нуля. Задание 12. Как называется операция нахождения производной? Правильный ответ: 3) дифференцирование. Задание 14. Найти значение производной функции \( y = x^3 - 3x^2 \) в точке \( x_0 = 2 \). 1) Находим производную: \[ y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x \] 2) Подставляем \( x_0 = 2 \): \[ y'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0 \] Ответ: 0. Задание 15. Найти угол между прямыми куба: а) AB и DC. Эти прямые параллельны, так как лежат в основаниях и являются противоположными сторонами квадрата. Угол между параллельными прямыми равен \( 0^\circ \). б) BC и \( DD_1 \). Прямая \( DD_1 \) перпендикулярна плоскости основания ABCD, в которой лежит прямая BC. Следовательно, угол равен \( 90^\circ \). Задание 16. Если функция убывает, то производная: Правильный ответ: 3) меньше нуля. Задание 17. Точки, в которых производная равна нулю, называются: Правильный ответ: 1) стационарными. (Примечание: критические точки включают в себя и те, где производная не существует).