Решение неравенств: (x-2)(x-5)<0 и x(x+11)(x-15)≥0

Вариант 2 Задание 1. Решите неравенство: а) \( (x - 2)(x - 5) < 0 \) Решение: Найдем корни уравнения \( (x - 2)(x - 5) = 0 \): \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 5 \). Отметим точки на числовой прямой. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Определим знаки на интервалах: На \( (-\infty; 2) \) возьмем \( x = 0 \): \( (0-2)(0-5) = 10 > 0 \). На \( (2; 5) \) возьмем \( x = 3 \): \( (3-2)(3-5) = -2 < 0 \). На \( (5; +\infty) \) возьмем \( x = 6 \): \( (6-2)(6-5) = 4 > 0 \). Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Ответ: \( x \in (2; 5) \). б) \( x(x + 11)(x - 15) \ge 0 \) Решение: Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -11 \), \( x_3 = 15 \). Расставим знаки методом интервалов (справа налево, начиная с плюса, так как коэффициенты при \( x \) положительны): \( - \) на \( (-\infty; -11] \) \( + \) на \( [-11; 0] \) \( - \) на \( [0; 15] \) \( + \) на \( [15; +\infty) \) Выбираем интервалы со знаком \( + \). Ответ: \( x \in [-11; 0] \cup [15; +\infty) \). Задание 2. Найдите множество решений неравенства: а) \( (6 - x)(3x + 12) \ge 0 \) Решение: Найдем корни: \( 6 - x = 0 \Rightarrow x = 6 \) \( 3x + 12 = 0 \Rightarrow 3x = -12 \Rightarrow x = -4 \) Рассмотрим знаки. При \( x = 0 \): \( (6-0)(0+12) = 72 > 0 \). Так как перед \( x \) в первой скобке стоит минус, ветви параболы (если раскрыть скобки) направлены вниз. Положительные значения будут между корнями. Ответ: \( x \in [-4; 6] \). б) \( \frac{x - 4}{x + 8} > 0 \) Решение: Дробь больше нуля, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Корни числителя: \( x = 4 \). Корни знаменателя: \( x = -8 \). Метод интервалов: На \( (-\infty; -8) \) знак \( + \) На \( (-8; 4) \) знак \( - \) На \( (4; +\infty) \) знак \( + \) Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup (4; +\infty) \). Задание 3. Найдите область определения функции: \[ y = \sqrt{(x + 34)(20 - x)} \] Решение: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ (x + 34)(20 - x) \ge 0 \] Найдем нули функции: \( x + 34 = 0 \Rightarrow x = -34 \) \( 20 - x = 0 \Rightarrow x = 20 \) Это квадратичное неравенство. Коэффициент при \( x^2 \) будет отрицательным (\( -x^2 \)), значит график — парабола ветвями вниз. Значения \( \ge 0 \) находятся между корнями, включая сами точки. Ответ: \( D(y) = [-34; 20] \).