Решение задачи по сопромату (метод сил)

Решение задачи по сопротивлению материалов (метод сил) Дано: \( a = 1 \) м, \( b = 3 \) м, \( c = 2 \) м, \( d = 1 \) м. \( F_1 = 1 \) Н, \( F_2 = 0 \) Н, \( q = 1 \) Н/м. Жесткость \( EI = const \). 1. Определение степени статической неопределимости Балка имеет три вертикальные опоры. Число неизвестных реакций \( R = 3 \). Уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил \( n = 2 \). Степень неопределимости: \[ W = R - n = 3 - 2 = 1 \] Система один раз статически неопределима. 2. Выбор основной системы (ОС) Отбросим среднюю опору и заменим её действие неизвестной силой \( X_1 \). Получим статически определимую балку на двух крайних опорах (левая — шарнирно-неподвижная, правая — шарнирно-подвижная). Расстояние между крайними опорами: \( L = b + c = 3 + 2 = 5 \) м. Левая опора (точка А) находится на расстоянии \( a \) от левого края. Правая опора (точка B) — в конце участка \( c \). 3. Каноническое уравнение метода сил \[ \delta_{11} \cdot X_1 + \Delta_{1P} = 0 \] где \( \delta_{11} \) — перемещение от единичной силы \( \bar{X}_1 = 1 \), \( \Delta_{1P} \) — перемещение от внешней нагрузки. 4. Построение единичной эпюры \( \bar{M}_1 \) Приложим \( \bar{X}_1 = 1 \) в месте средней опоры. Реакции опор от \( \bar{X}_1 \): \[ \sum M_B = 0 \Rightarrow R_A \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 0 \Rightarrow R_A = 0.4 \] \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot 5 - 1 \cdot 3 = 0 \Rightarrow R_B = 0.6 \] Максимальный момент под силой: \( \bar{M}_{1,max} = R_A \cdot 3 = 1.2 \) Нм. 5. Построение грузовой эпюры \( M_P \) Нагрузки: \( F_1 = 1 \) на правом консольном конце, \( q = 1 \) на участке \( c \), \( F_2 = 0 \). Реакции опор в ОС: \[ \sum M_B = 0 \Rightarrow R_A \cdot 5 - q \cdot 2 \cdot 1 + F_1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow R_A \cdot 5 - 2 + 1 = 0 \Rightarrow R_A = 0.2 \] \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot 5 - q \cdot 2 \cdot 4 - F_1 \cdot 6 = 0 \Rightarrow R_B \cdot 5 - 8 - 6 = 0 \Rightarrow R_B = 2.8 \] Моменты в характерных точках: На левой консоли \( M = 0 \). На опоре А: \( M_A = 0 \). В точке приложения \( X_1 \): \( M_X = R_A \cdot 3 = 0.2 \cdot 3 = 0.6 \) Нм. На опоре B: \( M_B = -F_1 \cdot 1 = -1 \) Нм. 6. Вычисление коэффициентов (методом Верещагина) \[ \delta_{11} = \frac{1}{EI} \int \bar{M}_1^2 dx = \frac{1}{EI} \left( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1.2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1.2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1.2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1.2 \right) = \frac{1.44 + 0.96}{EI} = \frac{2.4}{EI} \] \[ \Delta_{1P} = \frac{1}{EI} \int \bar{M}_1 M_P dx \] Перемножаем эпюры по участкам: Участок \( b \): \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1.2 \cdot (\frac{2}{3} \cdot 0.6) = 0.72 \) Участок \( c \): Используем формулу трапеций или Симпсона. Учитывая кривизну от \( q \): \[ \Delta_{1P, c} \approx \frac{2}{6EI} [1.2 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.6 \cdot (-0.05) + 0 \cdot (-1)] = 0.2 \] (приблизительно) Суммарно \( \Delta_{1P} \approx \frac{0.92}{EI} \). 7. Нахождение неизвестного \( X_1 \) \[ X_1 = -\frac{\Delta_{1P}}{\delta_{11}} = -\frac{0.92}{2.4} \approx -0.383 \text{ Н} \] Знак минус означает, что реакция направлена вверх (противоположно выбранному направлению \( X_1 \)). 8. Окончательные эпюры Окончательные моменты вычисляются по формуле: \( M = \bar{M}_1 \cdot X_1 + M_P \). Поперечные силы \( Q \) находятся как производная от моментов или из условий равновесия отсеченных частей с учетом найденной реакции \( X_1 \). Кинематическая проверка: Проверяется условие \( \int \frac{M \bar{M}_1}{EI} dx = 0 \). Если результат близок к нулю, расчет верен.