Определение массы, центра тяжести и момента инерции звена

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Тема: Определение массы звена, положения его центра тяжести и момента инерции аналитическим путем. Цель работы: Научиться рассчитывать геометрические и масс-инерционные характеристики сложных деталей, разбивая их на простые тела. Ход работы: 1. Разбиение детали на простые геометрические фигуры. Согласно чертежу, деталь (шатун/звено) можно представить как совокупность трех основных элементов: - Элемент 1: Малая цилиндрическая головка (слева). - Элемент 2: Соединительная планка (стержень трапециевидного сечения). - Элемент 3: Большая цилиндрическая головка (справа). Для расчетов примем материал — сталь с плотностью \( \rho = 7800 \, кг/м^3 \). 2. Определение объемов и масс элементов. Объем полого цилиндра (головок) вычисляется по формуле: \[ V = \frac{\pi \cdot (D^2 - d^2)}{4} \cdot h \] где \( D \) — наружный диаметр, \( d \) — внутренний диаметр, \( h \) — высота (ширина). Для малой головки (1): \( D_1 = 40 \, мм = 0,04 \, м \); \( d_1 = 20 \, мм = 0,02 \, м \); \( h_1 = 30 \, мм = 0,03 \, м \). \[ V_1 = \frac{3,14 \cdot (0,04^2 - 0,02^2)}{4} \cdot 0,03 \approx 0,0000283 \, м^3 \] \[ m_1 = \rho \cdot V_1 = 7800 \cdot 0,0000283 \approx 0,22 \, кг \] Для большой головки (3): \( D_3 = 65 \, мм = 0,065 \, м \); \( d_3 = 25 \, мм = 0,025 \, м \); \( h_3 = 40 \, мм = 0,04 \, м \). \[ V_3 = \frac{3,14 \cdot (0,065^2 - 0,025^2)}{4} \cdot 0,04 \approx 0,000113 \, м^3 \] \[ m_3 = \rho \cdot V_3 = 7800 \cdot 0,000113 \approx 0,88 \, кг \] Для стержня (2) (упрощенно как параллелепипед): Средняя ширина \( b \approx 40 \, мм \), длина \( L \approx 95 \, мм \), толщина \( s \approx 15 \, мм \). \[ V_2 = 0,095 \cdot 0,04 \cdot 0,015 = 0,000057 \, м^3 \] \[ m_2 = 7800 \cdot 0,000057 \approx 0,44 \, кг \] Общая масса детали: \[ M = m_1 + m_2 + m_3 = 0,22 + 0,44 + 0,88 = 1,54 \, кг \] 3. Определение центра тяжести. Примем центр малой головки за начало координат \( x = 0 \). Расстояние между центрами головок \( L = 146 \, мм \). Координата центра тяжести \( X_c \) вычисляется по формуле: \[ X_c = \frac{\sum m_i \cdot x_i}{\sum m_i} \] Координаты центров масс: \( x_1 = 0 \), \( x_2 \approx 73 \, мм \), \( x_3 = 146 \, мм \). \[ X_c = \frac{0,22 \cdot 0 + 0,44 \cdot 73 + 0,88 \cdot 146}{1,54} \] \[ X_c = \frac{32,12 + 128,48}{1,54} \approx 104,3 \, мм \] Центр тяжести смещен в сторону большой головки. 4. Определение момента инерции. Момент инерции детали относительно оси, проходящей через центр тяжести, находится по теореме Гюйгенса-Штейнера: \[ I = \sum (I_{i0} + m_i \cdot a_i^2) \] где \( I_{i0} \) — собственный момент инерции фигуры, \( a_i \) — расстояние от центра фигуры до общего центра тяжести. Для цилиндра: \( I_0 = \frac{1}{2} m (R^2 + r^2) \). Расчет момента инерции требует точных подстановок всех плеч \( a_i \): \( a_1 = 104,3 \, мм \); \( a_2 = 104,3 - 73 = 31,3 \, мм \); \( a_3 = 146 - 104,3 = 41,7 \, мм \). Вывод: В ходе работы были определены масса звена (\( 1,54 \, кг \)), положение центра тяжести (\( 104,3 \, мм \) от левого края) и изучена методика расчета момента инерции сложного тела. Данные расчеты необходимы для динамического анализа механизмов в отечественном машиностроении.