Решение дифференциального уравнения y' = 10^(x+y)

Задание 1. Найти общее решение или общий интеграл уравнения. 1.1. Решение дифференциального уравнения \( y' = 10^{x+y} \). Это уравнение с разделяющимися переменными. Представим производную как отношение дифференциалов и воспользуемся свойствами степеней: \[ \frac{dy}{dx} = 10^x \cdot 10^y \] Разделим переменные, перенеся все члены с \( y \) в левую часть, а с \( x \) — в правую: \[ \frac{dy}{10^y} = 10^x dx \] \[ 10^{-y} dy = 10^x dx \] Интегрируем обе части уравнения: \[ \int 10^{-y} dy = \int 10^x dx \] Используем формулу интеграла показательной функции \( \int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C \): \[ -\frac{10^{-y}}{\ln 10} = \frac{10^x}{\ln 10} + C_1 \] Умножим всё уравнение на \( -\ln 10 \), чтобы упростить вид (обозначим \( -C_1 \ln 10 \) как новую произвольную константу \( C \)): \[ 10^{-y} = -10^x + C \] \[ 10^{-y} + 10^x = C \] Ответ: Общий интеграл уравнения \( 10^{-y} + 10^x = C \). 1.2. Решение дифференциального уравнения \( (x^2 + y^2 + 2x)e^x dx + 2ye^x dy = 0 \). Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Пусть: \[ P(x, y) = (x^2 + y^2 + 2x)e^x \] \[ Q(x, y) = 2ye^x \] Находим частные производные: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ((x^2 + y^2 + 2x)e^x) = 2ye^x \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2ye^x) = 2ye^x \] Так как \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \), то это уравнение в полных дифференциалах. Существует функция \( U(x, y) \), такая что \( dU = P dx + Q dy = 0 \), а значит \( U(x, y) = C \). Интегрируем \( Q(x, y) \) по \( y \): \[ U(x, y) = \int 2ye^x dy = e^x \int 2y dy = e^x (y^2 + \varphi(x)) = y^2 e^x + \varphi(x) \] Теперь найдем производную полученного выражения по \( x \) и приравняем к \( P(x, y) \): \[ \frac{\partial U}{\partial x} = y^2 e^x + \varphi'(x) = (x^2 + y^2 + 2x)e^x \] \[ y^2 e^x + \varphi'(x) = x^2 e^x + y^2 e^x + 2x e^x \] \[ \varphi'(x) = (x^2 + 2x)e^x \] Интегрируем \( \varphi'(x) \) по частям (\( \int u dv = uv - \int v du \)): Пусть \( u = x^2 + 2x \), тогда \( du = (2x + 2)dx \). Пусть \( dv = e^x dx \), тогда \( v = e^x \). \[ \varphi(x) = (x^2 + 2x)e^x - \int (2x + 2)e^x dx \] Интегрируем еще раз по частям для оставшегося интеграла: Пусть \( u = 2x + 2 \), \( du = 2dx \), \( dv = e^x dx \), \( v = e^x \). \[ \varphi(x) = (x^2 + 2x)e^x - ((2x + 2)e^x - \int 2e^x dx) \] \[ \varphi(x) = x^2 e^x + 2xe^x - 2xe^x - 2e^x + 2e^x = x^2 e^x \] Собираем функцию \( U(x, y) \): \[ U(x, y) = y^2 e^x + x^2 e^x = (x^2 + y^2)e^x \] Ответ: Общий интеграл уравнения \( (x^2 + y^2)e^x = C \).