Решение задачи: найти углы треугольника по трем сторонам

Ниже представлено решение задачи с доски, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \( \triangle ABC \) \( AB = 6 \) \( BC = 7 \) \( AC = 10 \) Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C \) Решение: Для нахождения углов треугольника по трем известным сторонам воспользуемся теоремой косинусов: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \] 1) Найдем \( \cos B \) (угол лежит против стороны \( AC \)): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] \[ 10^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos B \] \[ 100 = 36 + 49 - 84 \cdot \cos B \] \[ 100 = 85 - 84 \cdot \cos B \] \[ 84 \cdot \cos B = 85 - 100 \] \[ 84 \cdot \cos B = -15 \] \[ \cos B = -\frac{15}{84} = -\frac{5}{28} \approx -0,1786 \] \( \angle B = \arccos(-5/28) \approx 100,3^\circ \) 2) Найдем \( \cos A \) (угол лежит против стороны \( BC \)): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] \[ 7^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos A \] \[ 49 = 36 + 100 - 120 \cdot \cos A \] \[ 120 \cdot \cos A = 136 - 49 \] \[ 120 \cdot \cos A = 87 \] \[ \cos A = \frac{87}{120} = 0,725 \] \( \angle A = \arccos(0,725) \approx 43,5^\circ \) 3) Найдем \( \angle C \), используя сумму углов треугольника: \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \] \[ \angle C \approx 180^\circ - (43,5^\circ + 100,3^\circ) = 180^\circ - 143,8^\circ = 36,2^\circ \] Ответ: \( \angle A \approx 43,5^\circ \), \( \angle B \approx 100,3^\circ \), \( \angle C \approx 36,2^\circ \).