schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи AB - BA для заданных матриц
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Чтобы найти AB - BA, необходимо вычислить произведения матриц AB и BA, а затем вычесть результат BA из AB. В данной задаче приведено подробное решение с пошаговыми вычислениями.
Подробное решение
Задание: Выполнить действия \( AB - BA \), если заданы матрицы:
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Решение:
1. Найдем произведение матриц \( AB \):
\[ AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \]
\[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 & 3 \cdot (-2) + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 1 & 3 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 & -1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 + 0 \cdot 1 & -1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 4 \cdot 2 & 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 + 4 \cdot 1 & 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \]
\[ = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 9 \\ 0 & 10 & -1 \\ 8 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]
2. Найдем произведение матриц \( BA \):
\[ BA = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} = \]
\[ = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 3 \cdot 4 \\ 0 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \]
\[ = \begin{pmatrix} 2 & -7 & 12 \\ -4 & 7 & 4 \\ 5 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]
3. Вычислим разность \( AB - BA \):
\[ AB - BA = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 9 \\ 0 & 10 & -1 \\ 8 & 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -7 & 12 \\ -4 & 7 & 4 \\ 5 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \]
\[ = \begin{pmatrix} 2 - 2 & -5 - (-7) & 9 - 12 \\ 0 - (-4) & 10 - 7 & -1 - 4 \\ 8 - 5 & 0 - 2 & -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 4 & 3 & -5 \\ 3 & -2 & -3 \end{pmatrix} \]
Ответ:
\[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 4 & 3 & -5 \\ 3 & -2 & -3 \end{pmatrix} \]