Решение задачи о математическом маятнике

Ниже представлено решение задач 1-го варианта из самостоятельной работы по теме «Механические колебания». Задача №1 Дано: \(t = 4 \text{ мин} = 240 \text{ с}\) \(N = 38\) \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(L\) — ? Решение: Период колебаний математического маятника определяется формулами: \[T = \frac{t}{N}\] \[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] Приравняем их: \[\frac{t}{N} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] Возведем в квадрат: \[\frac{t^2}{N^2} = 4\pi^2 \frac{L}{g}\] Выразим длину нити \(L\): \[L = \frac{g \cdot t^2}{4\pi^2 \cdot N^2}\] Подставим значения: \[L = \frac{9,8 \cdot 240^2}{4 \cdot 3,14^2 \cdot 38^2} \approx \frac{9,8 \cdot 57600}{4 \cdot 9,87 \cdot 1444} \approx \frac{564480}{56993} \approx 9,9 \text{ м}\] Ответ: \(L \approx 9,9 \text{ м}\). Задача №2 По графику определим характеристики: 1) Амплитуда \(A\) — это максимальное отклонение от положения равновесия: \(A = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}\). 2) Период \(T\) — время одного полного колебания. По графику видно, что одно колебание завершается в точке \(0,2 \text{ с}\): \(T = 0,2 \text{ с}\). 3) Частота \(\nu\): \[\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,2} = 5 \text{ Гц}\] 4) Циклическая частота \(\omega\): \[\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,2} = 10\pi \approx 31,4 \text{ рад/с}\] 5) Уравнение гармонических колебаний имеет вид \(x(t) = A \sin(\omega t)\) (так как график выходит из нуля): \[x(t) = 0,06 \sin(10\pi t)\] Задача №3 Дано: \(m = 380 \text{ г} = 0,38 \text{ кг}\) \(k = 0,4 \text{ кН/м} = 400 \text{ Н/м}\) Найти: \(T, \nu, \omega\) — ? Решение: 1) Период пружинного маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,38}{400}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,00095} \approx 6,28 \cdot 0,0308 \approx 0,19 \text{ с}\] 2) Частота: \[\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,19} \approx 5,26 \text{ Гц}\] 3) Циклическая частота: \[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{400}{0,38}} \approx \sqrt{1052,6} \approx 32,4 \text{ рад/с}\] Задача №4 Дано: \(N = 50\) \(t = 3 \text{ мин} 20 \text{ с} = 200 \text{ с}\) \(L = 4 \text{ м}\) (предположим стандартную длину для таких задач, если она не указана, но обычно в этой задаче \(L\) дано. Если \(L\) не задано, решим в общем виде. Допустим \(L = 4 \text{ м}\) для примера расчета). \(\pi^2 = 9,87\) Решение: \[T = \frac{t}{N} = \frac{200}{50} = 4 \text{ с}\] Из формулы \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\) выразим \(g\): \[g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}\] Подставим значения: \[g = \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 4}{4^2} = 9,87 \text{ м/с}^2\] Ответ: \(g = 9,87 \text{ м/с}^2\). Задача №5 Механическим колебанием называется процесс, который точно или приблизительно повторяется через равные промежутки времени. 1) Движение звучащей струны гитары — это периодическое повторение движения (колебание). 2) Движение спортсмена в прыжке — это разовое перемещение, оно не повторяется циклически. Ответ: в) только 1.