Решение: Определение истинности формулы (A ∨ ¬B) → B ∧ (¬A ∨ B)

Практическая работа: Определение истинности формул Для решения данных задач по логике необходимо составить таблицы истинности или использовать законы алгебры логики. 1. Определим истинность формулы: \((A \lor \bar{B}) \to B \land (\bar{A} \lor B)\) Составим таблицу истинности: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \bar{A} & \bar{B} & A \lor \bar{B} & (A \lor \bar{B}) \to B & \bar{A} \lor B & Результат \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Вывод: Формула является выполнимой (принимает значения и 0, и 1), её истинность зависит от значений переменных A и B. Она совпадает со значением переменной B. 2. Проверим тождество: \(\overline{A \land B} \equiv (\bar{A} \lor B)\) Согласно закону де Моргана: \(\overline{A \land B} = \bar{A} \lor \bar{B}\). Сравним \(\bar{A} \lor \bar{B}\) и \(\bar{A} \lor B\). Они не тождественны. Например, при \(A=1, B=1\): Левая часть: \(\overline{1 \land 1} = \bar{1} = 0\) Правая часть: \(\bar{1} \lor 1 = 0 \lor 1 = 1\) Вывод: Формула ложна как тождество. 3. Проверим тождество: \(\overline{(A \to B) \equiv (\bar{B} \to \bar{A})}\) Известно, что закон контрапозиции гласит: \((A \to B) \equiv (\bar{B} \to \bar{A})\). Это тождественно истинное выражение (тавтология). Следовательно, отрицание тавтологии всегда ложно. Вывод: Формула является тождественно ложной (противоречием). 4. Определим истинность формулы: \((A \lor B) \to \bar{C}\) Данная формула содержит три переменные. Она будет ложной только в одном случае: когда \((A \lor B)\) истинно (1), а \(\bar{C}\) ложно (0). Это происходит, если \(C=1\) и хотя бы одна из переменных \(A\) или \(B\) равна 1. Вывод: Формула выполнима. Она истинна на всех наборах, кроме (1,0,1), (0,1,1) и (1,1,1). 5. Определим истинность формулы: \(\overline{(A \lor B) \to (\overline{B \lor C})}\) Упростим выражение под инверсией. Используем правило \(X \to Y = \bar{X} \lor Y\): \[ (A \lor B) \to \overline{B \lor C} = \overline{A \lor B} \lor \overline{B \lor C} \] Теперь применим общую инверсию (закон де Моргана): \[ \overline{\overline{A \lor B} \lor \overline{B \lor C}} = (A \lor B) \land (B \lor C) \] Вывод: Формула истинна, когда одновременно истинны обе скобки. Это выполняется, если \(B=1\) или если одновременно \(A=1\) и \(C=1\). В остальных случаях формула ложна.