Решение тригонометрических уравнений с синусом

Ниже представлено решение задач с карточки, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Решите уравнение: а) \( \sin t = -1 \) Это частный случай тригонометрического уравнения. Точка на единичной окружности с ординатой \(-1\) соответствует углу \( -\frac{\pi}{2} \). Ответ: \( t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \sin t = 0,5 \) Используем общую формулу для синуса: \( t = (-1)^n \arcsin(0,5) + \pi n \). Так как \( \arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6} \), получаем: Ответ: \( t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). в) \( \sin t = \frac{1}{3} \) Так как \( \frac{1}{3} \) не является табличным значением, записываем ответ через арксинус: Ответ: \( t = (-1)^k \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). Задание 2. Решите уравнение: а) \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Введем замену: пусть \( \sin x = a \), где \( |a| \le 1 \). Получаем уравнение: \( 2a^2 + a - 1 = 0 \). Найдем дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] Корни уравнения: \[ a_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 \] \[ a_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \] Сделаем обратную замену: 1) \( \sin x = 0,5 \) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) 2) \( \sin x = -1 \) \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \).