Решение задач №791 и №792: Нахождение производных

Ниже представлено решение упражнений №791 и №792. Вероятно, задание заключается в нахождении производных данных функций, так как это стандартная тема для таких выражений в школьном курсе. Для решения будем использовать правило дифференцирования сложной функции: \[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] А также формулы: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \] \[ (kx + b)' = k \] № 791 1) \( y = (4x - 3)^2 \) \[ y' = 2(4x - 3)^{2-1} \cdot (4x - 3)' = 2(4x - 3) \cdot 4 = 8(4x - 3) = 32x - 24 \] 2) \( y = (5x + 2)^{-3} \) \[ y' = -3(5x + 2)^{-3-1} \cdot (5x + 2)' = -3(5x + 2)^{-4} \cdot 5 = -15(5x + 2)^{-4} = -\frac{15}{(5x + 2)^4} \] 3) \( y = (1 - 2x)^{-6} \) \[ y' = -6(1 - 2x)^{-6-1} \cdot (1 - 2x)' = -6(1 - 2x)^{-7} \cdot (-2) = 12(1 - 2x)^{-7} = \frac{12}{(1 - 2x)^7} \] 4) \( y = (2 - 5x)^4 \) \[ y' = 4(2 - 5x)^3 \cdot (2 - 5x)' = 4(2 - 5x)^3 \cdot (-5) = -20(2 - 5x)^3 \] 5) \( y = (2x)^3 \) \[ y' = 3(2x)^2 \cdot (2x)' = 3 \cdot 4x^2 \cdot 2 = 24x^2 \] (Или проще: \( (8x^3)' = 24x^2 \)) 6) \( y = (-5x)^4 \) \[ y' = 4(-5x)^3 \cdot (-5x)' = 4 \cdot (-125x^3) \cdot (-5) = 2500x^3 \] (Или проще: \( (625x^4)' = 2500x^3 \)) № 792 Для решения вспомним, что \( \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \). 1) \( y = \sqrt[3]{2x + 7} = (2x + 7)^{\frac{1}{3}} \) \[ y' = \frac{1}{3}(2x + 7)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x + 7)' = \frac{1}{3}(2x + 7)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2 = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 7)^2}} \] 2) \( y = \sqrt[4]{7 - 3x} = (7 - 3x)^{\frac{1}{4}} \) \[ y' = \frac{1}{4}(7 - 3x)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (7 - 3x)' = \frac{1}{4}(7 - 3x)^{-\frac{3}{4}} \cdot (-3) = -\frac{3}{4\sqrt[4]{(7 - 3x)^3}} \] 3) \( y = \sqrt[4]{3x} = (3x)^{\frac{1}{4}} \) \[ y' = \frac{1}{4}(3x)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (3x)' = \frac{1}{4}(3x)^{-\frac{3}{4}} \cdot 3 = \frac{3}{4\sqrt[4]{(3x)^3}} \] 4) \( y = \sqrt[3]{5x} = (5x)^{\frac{1}{3}} \) \[ y' = \frac{1}{3}(5x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (5x)' = \frac{1}{3}(5x)^{-\frac{2}{3}} \cdot 5 = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x)^2}} \]