Решение заданий из Карточки 8

Решение заданий из Карточки 8. Задание 1. \[ \sqrt{\frac{20+x}{x}} + \sqrt{\frac{20-x}{x}} = \sqrt{6} \] Разделим почленно подкоренные выражения: \[ \sqrt{\frac{20}{x} + 1} + \sqrt{\frac{20}{x} - 1} = \sqrt{6} \] Пусть \( \frac{20}{x} = t \). Тогда уравнение примет вид: \[ \sqrt{t+1} + \sqrt{t-1} = \sqrt{6} \] Возведем обе части в квадрат: \[ (t+1) + 2\sqrt{(t+1)(t-1)} + (t-1) = 6 \] \[ 2t + 2\sqrt{t^2 - 1} = 6 \] \[ \sqrt{t^2 - 1} = 3 - t \] Возведем еще раз в квадрат (при условии \( 3 - t \ge 0 \)): \[ t^2 - 1 = 9 - 6t + t^2 \] \[ 6t = 10 \Rightarrow t = \frac{5}{3} \] Проверка условия: \( 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3} > 0 \) — подходит. Вернемся к замене: \[ \frac{20}{x} = \frac{5}{3} \Rightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12 \] Ответ: \( 12 \). Задание 2. \[ \sqrt[5]{33-x} + \sqrt[5]{x} = 3 \] Пусть \( \sqrt[5]{33-x} = a \) и \( \sqrt[5]{x} = b \). Составим систему: \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^5 + b^5 = 33 \end{cases} \] Из первого уравнения \( b = 3 - a \). Подставим во второе: \[ a^5 + (3-a)^5 = 33 \] Разложим по формуле бинома Ньютона: \[ a^5 + (243 - 405a + 270a^2 - 90a^3 + 15a^4 - a^5) = 33 \] \[ 15a^4 - 90a^3 + 270a^2 - 405a + 210 = 0 \] Разделим на 15: \[ a^4 - 6a^3 + 18a^2 - 27a + 14 = 0 \] Заметим, что сумма коэффициентов равна 0, значит \( a_1 = 1 \). Если \( a = 1 \), то \( \sqrt[5]{33-x} = 1 \Rightarrow 33-x = 1 \Rightarrow x = 32 \). Если \( a = 2 \) (корень подбором), то \( \sqrt[5]{33-x} = 2 \Rightarrow 33-x = 32 \Rightarrow x = 1 \). Ответ: \( 1; 32 \). Задание 3. \[ \sqrt{4x^2 - \sqrt{x-2}} = 3\sqrt{x} - 2x \] Возведем в квадрат обе части (при условии \( 3\sqrt{x} - 2x \ge 0 \)): \[ 4x^2 - \sqrt{x-2} = 9x - 12x\sqrt{x} + 4x^2 \] \[ -\sqrt{x-2} = 9x - 12x\sqrt{x} \] \[ \sqrt{x-2} = 3x\sqrt{x}(4 - \frac{3}{\sqrt{x}}) \] Заметим область определения: \( x \ge 2 \). При \( x \ge 2 \) левая часть \( \sqrt{x-2} \ge 0 \). Правая часть: \( 12x\sqrt{x} - 9x = 3x(4\sqrt{x} - 3) \). Так как \( x \ge 2 \), то \( \sqrt{x} \ge \sqrt{2} \approx 1.41 \), значит \( 4\sqrt{x}-3 > 0 \). Однако, при анализе уравнения видно, что при \( x=2 \) левая часть равна 0, а правая \( 12\cdot 2\sqrt{2} - 18 \neq 0 \). При \( x > 2 \) функция в правой части растет значительно быстрее. Уравнение не имеет решений. Ответ: нет корней. Задание 5. \[ \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} \] Заметим, что под корнями полные квадраты: \[ x+3-4\sqrt{x-1} = (x-1) - 4\sqrt{x-1} + 4 = (\sqrt{x-1} - 2)^2 \] \[ x+8-6\sqrt{x-1} = (x-1) - 6\sqrt{x-1} + 9 = (\sqrt{x-1} - 3)^2 \] Выражение упрощается до: \[ |\sqrt{x-1} - 2| + |\sqrt{x-1} - 3| \] (В задании не указано, чему равно выражение, вероятно, требуется упростить или решить при равенстве какому-то числу).