Решение задачи: коэффициент подобия и пересекающиеся хорды

Хорошо, давайте решим эти задачи по геометрии.

Вариант 2

Задание 1. Отрезки MN и KP подобны. Если MN = 15 см, а KP = 5 см, чему равен коэффициент подобия k (подобие от MN к KP)?

Решение:

Коэффициент подобия \(k\) двух подобных отрезков (или фигур) равен отношению длин соответствующих сторон. В данном случае, мы ищем коэффициент подобия от отрезка MN к отрезку KP.

Дано:

• Длина отрезка MN = 15 см
• Длина отрезка KP = 5 см

Формула для коэффициента подобия \(k\):

\[k = \frac{\text{длина первого отрезка}}{\text{длина второго отрезка}}\]

Подставляем значения:

\[k = \frac{MN}{KP} = \frac{15 \text{ см}}{5 \text{ см}}\] \[k = 3\]

Ответ: Коэффициент подобия \(k = 3\).

Задание 2. Хорды окружности PQ и RS пересекаются в точке T. Известно, что PT = 5 см, TQ = 10 см, а RT = 4 см. Найдите длину отрезка TS.

Решение:

Когда две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано:

• PT = 5 см
• TQ = 10 см
• RT = 4 см

Согласно свойству пересекающихся хорд:

\[PT \cdot TQ = RT \cdot TS\]

Подставляем известные значения:

\[5 \cdot 10 = 4 \cdot TS\] \[50 = 4 \cdot TS\]

Чтобы найти TS, разделим 50 на 4:

\[TS = \frac{50}{4}\] \[TS = 12.5 \text{ см}\]

Ответ: Длина отрезка TS = 12.5 см.

Задание 3. Из точки M к окружности проведены касательная ML (L — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках N и P (N лежит между M и P). Найдите длину отрезка MN, если ML = 6 см, а NP = 5 см.

Решение:

Согласно теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Дано:

• ML = 6 см (длина касательной)
• NP = 5 см (часть секущей внутри окружности)

Пусть MN — внешняя часть секущей. Тогда вся секущая MP = MN + NP.

Формула теоремы:

\[ML^2 = MN \cdot MP\]

Подставляем MP = MN + NP:

\[ML^2 = MN \cdot (MN + NP)\]

Подставляем известные значения:

\[6^2 = MN \cdot (MN + 5)\] \[36 = MN^2 + 5 \cdot MN\]

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[MN^2 + 5 \cdot MN - 36 = 0\]

Решаем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(x = MN\), \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -36\).

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)\] \[D = 25 + 144\] \[D = 169\]

Находим корни уравнения:

\[MN = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[MN = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1}\] \[MN = \frac{-5 \pm 13}{2}\]

Получаем два возможных значения для MN:

\[MN_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[MN_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому MN = 4 см.

Ответ: Длина отрезка MN = 4 см.

Задание 4. Треугольники DEF и D₁E₁F₁ подобны (\(\angle D = \angle D_1\)). Какой стороне EF соответствует сторона E₁F₁. Запишите, какой угол треугольника D₁E₁F₁ равен углу F треугольника DEF.

Решение:

Если два треугольника подобны, то их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Дано, что треугольники DEF и D₁E₁F₁ подобны, и \(\angle D = \angle D_1\).

1. Соответствие сторон:

При записи подобия треугольников порядок вершин важен. Если \(\triangle DEF \sim \triangle D_1E_1F_1\), это означает, что:

• Вершина D соответствует вершине D₁
• Вершина E соответствует вершине E₁
• Вершина F соответствует вершине F₁

Следовательно, сторона EF соединяет вершины E и F. Ей соответствует сторона, соединяющая вершины E₁ и F₁, то есть сторона E₁F₁.

2. Соответствие углов:

Если \(\triangle DEF \sim \triangle D_1E_1F_1\), то соответствующие углы равны:

• \(\angle D = \angle D_1\) (дано)
• \(\angle E = \angle E_1\)
• \(\angle F = \angle F_1\)

Таким образом, углу F треугольника DEF равен угол F₁ треугольника D₁E₁F₁.

Ответ:

• Стороне EF соответствует сторона E₁F₁.
• Углу F треугольника DEF равен угол F₁ треугольника D₁E₁F₁.

Задание 5. В окружности через концы хорды BC проведены касательные, пересекающиеся в точке A. Докажите, что треугольники ABO и ACO равны, где O — центр окружности.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABO и ACO.

1. Сторона AO является общей для обоих треугольников.

2. Стороны OB и OC являются радиусами окружности, так как O — центр окружности, а B и C лежат на окружности. Следовательно, \(OB = OC\).

3. Углы между радиусом и касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поскольку AB и AC — касательные, проведенные из точки A к окружности в точках B и C соответственно, то:

• \(\angle OBA = 90^\circ\) (радиус OB перпендикулярен касательной AB)
• \(\angle OCA = 90^\circ\) (радиус OC перпендикулярен касательной AC)

Таким образом, треугольники ABO и ACO являются прямоугольными треугольниками.

Мы имеем:

• Гипотенуза AO — общая.
• Катет OB = OC (как радиусы).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, треугольники ABO и ACO равны.

Что и требовалось доказать.

Задание 6. В окружности проведены хорды EF и GH, пересекающиеся в точке M.

EM = 3 см, MF = 12 см, GM : MH = 2 : 3.

а) Найдите длины отрезков GM и MH.

б) Найдите радиус окружности, если известно, что ее центр лежит на хорде EF, а EF — диаметр.

Решение:

а) Найдите длины отрезков GM и MH.

Когда две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано:

• EM = 3 см
• MF = 12 см
• GM : MH = 2 : 3

Свойство пересекающихся хорд:

\[EM \cdot MF = GM \cdot MH\]

Подставляем известные значения EM и MF:

\[3 \cdot 12 = GM \cdot MH\] \[36 = GM \cdot MH\]

Также дано отношение GM : MH = 2 : 3. Это можно записать как:

\[\frac{GM}{MH} = \frac{2}{3}\]

Выразим GM через MH (или наоборот):

\[GM = \frac{2}{3} MH\]

Теперь подставим это выражение в уравнение \(36 = GM \cdot MH\):

\[36 = \left(\frac{2}{3} MH\right) \cdot MH\] \[36 = \frac{2}{3} MH^2\]

Чтобы найти \(MH^2\), умножим обе части на \(\frac{3}{2}\):

\[MH^2 = 36 \cdot \frac{3}{2}\] \[MH^2 = 18 \cdot 3\] \[MH^2 = 54\]

Теперь найдем MH:

\[MH = \sqrt{54}\] \[MH = \sqrt{9 \cdot 6}\] \[MH = 3\sqrt{6} \text{ см}\]

Теперь найдем GM, используя отношение \(GM = \frac{2}{3} MH\):

\[GM = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{6}\] \[GM = 2\sqrt{6} \text{ см}\]

Ответ а): Длины отрезков GM = \(2\sqrt{6}\) см и MH = \(3\sqrt{6}\) см.

б) Найдите радиус окружности, если известно, что ее центр лежит на хорде EF, а EF — диаметр.

Если центр окружности лежит на хорде EF, и EF является диаметром, то точка M, где пересекаются хорды, находится на диаметре.

Длина диаметра EF равна сумме отрезков EM и MF:

\[EF = EM + MF\] \[EF = 3 \text{ см} + 12 \text{ см}\] \[EF = 15 \text{ см}\]

Радиус окружности \(R\) равен половине диаметра:

\[R = \frac{EF}{2}\] \[R = \frac{15 \text{ см}}{2}\] \[R = 7.5 \text{ см}\]

Ответ б): Радиус окружности = 7.5 см.